Как решить уравнение 3x² + 5x + 2 = 0

Корни квадратного уравнения $3x^2 + 5x + 2 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$. Для получения этого результата можно использовать формулу дискриминанта или метод разложения на множители (группировки). Ниже приведены подробные шаги для обоих способов, а также проверка правильности ответа.

Определение коэффициентов

Любое полное квадратное уравнение имеет стандартный вид: $$ax^2 + bx + c = 0$$

Для уравнения $3x^2 + 5x + 2 = 0$ коэффициенты равны:

• $a = 3$ (коэффициент при $x^2$)
• $b = 5$ (коэффициент при $x$)
• $c = 2$ (свободный член)

Способ 1: Через дискриминант

Это универсальный метод, подходящий для любых квадратных уравнений.

Шаг 1. Вычисление дискриминанта

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставим наши значения: $$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2$$ $$D = 25 - 24$$ $$D = 1$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Шаг 2. Нахождение корней

Используем формулу корней: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Найдем $\sqrt{D}$: $$\sqrt{1} = 1$$

Вычислим первый корень ($x_1$): $$x_1 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6}$$ Сократим дробь на 2: $$x_1 = -\frac{2}{3}$$

Вычислим второй корень ($x_2$): $$x_2 = \frac{-5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6}$$ $$x_2 = -1$$

Способ 2: Разложение на множители (метод группировки)

Этот способ часто быстрее, если коэффициенты небольшие и корни являются рациональными числами.

Шаг 1. Поиск чисел для разбиения среднего члена

Нужно найти два числа, произведение которых равно $a \cdot c$, а сумма равна $b$.

• Произведение: $3 \cdot 2 = 6$
• Сумма: $5$

Такими числами являются 2 и 3 ($2 \cdot 3 = 6$ и $2 + 3 = 5$).

Шаг 2. Разбиение и группировка

Перепишем уравнение, заменив $5x$ на $2x + 3x$: $$3x^2 + 2x + 3x + 2 = 0$$

Сгруппируем слагаемые попарно: $$(3x^2 + 2x) + (3x + 2) = 0$$

Вынесем общие множители за скобки:

• Из первой группы $(3x^2 + 2x)$ выносим $x$: $x(3x + 2)$
• Из второй группы $(3x + 2)$ выносим $1$: $1(3x + 2)$

Получаем: $$x(3x + 2) + 1(3x + 2) = 0$$

Теперь выносим общий множитель $(3x + 2)$: $$(3x + 2)(x + 1) = 0$$

Шаг 3. Решение линейных уравнений

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $3x + 2 = 0 \Rightarrow 3x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$
2. $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

Проверка решения

Подставим найденные корни в исходное уравнение $3x^2 + 5x + 2 = 0$, чтобы убедиться в отсутствии ошибок.

Проверка для $x = -1$: $$3(-1)^2 + 5(-1) + 2 = 3(1) - 5 + 2 = 3 - 5 + 2 = 0$$ $0 = 0$ — верно.

Проверка для $x = -\frac{2}{3}$: $$3\left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 5\left(-\frac{2}{3}\right) + 2 = 3\left(\frac{4}{9}\right) - \frac{10}{3} + 2$$ $$= \frac{12}{9} - \frac{10}{3} + 2$$ Сократим $\frac{12}{9}$ до $\frac{4}{3}$: $$= \frac{4}{3} - \frac{10}{3} + \frac{6}{3} \quad (\text{привели 2 к знаменателю 3})$$ $$= \frac{4 - 10 + 6}{3} = \frac{0}{3} = 0$$ $0 = 0$ — верно.

Частые ошибки

При решении подобных уравнений ученики часто допускают следующие промахи:

1. Ошибка в знаке дискриминанта. Забывают, что формула $b^2 - 4ac$ содержит вычитание. Если перепутать знаки, результат будет неверным.
2. Неверное сокращение дробей. При получении ответа $-\frac{4}{6}$ важно сократить его на 2. Ответ $-\frac{4}{6}$ математически верен, но не является каноническим (упрощенным).
3. Путаница в формуле корней. Часто забывают знак «минус» перед $b$ в числителе ($-b \pm \sqrt{D}$). В нашем случае это критично, так как $b=5$, значит в числителе будет $-5$.
4. Ошибка при возведении в квадрат отрицательного числа. При проверке нужно помнить, что $(-1)^2 = 1$, а не $-1$.

FAQ

Что делать, если дискриминант отрицательный? Если $D < 0$, то действительных корней у уравнения нет. В школьной программе алгебры решение обычно заканчивается этим выводом. В старших классах рассматриваются комплексные числа.

Можно ли использовать теорему Виета? Да, но только если коэффициент $a = 1$. Для уравнения вида $3x^2 + 5x + 2 = 0$ теорему Виета применять напрямую нельзя. Сначала нужно разделить всё уравнение на 3, получив $x^2 + \frac{5}{3}x + \frac{2}{3} = 0$, что усложняет вычисления из-за дробей. Поэтому для $a \neq 1$ удобнее использовать формулу дискриминанта или метод группировки.

Как записать ответ? Ответ можно записать в виде перечисления корней: $x_1 = -1, x_2 = -\frac{2}{3}$ или в виде множества: ${-1; -\frac{2}{3}}$.