Как найти корни уравнения 2x² + 5x + 2 = 0

Корни квадратного уравнения $2x^2 + 5x + 2 = 0$ равны $x_1 = -0,5$ и $x_2 = -2$.

Для решения можно использовать классическую формулу через дискриминант или метод разложения на множители (теорема Виета в обобщенном виде). Ниже приведены оба способа с подробными вычислениями и проверкой результата.

Способ 1: Решение через дискриминант

Это универсальный метод, подходящий для любых квадратных уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Шаг 1. Определение коэффициентов

Выпишем коэффициенты из уравнения $2x^2 + 5x + 2 = 0$:

• $a = 2$
• $b = 5$
• $c = 2$

Шаг 2. Вычисление дискриминанта

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставим значения: $$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2$$ $$D = 25 - 16$$ $$D = 9$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Шаг 3. Нахождение корней

Используем формулу корней: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Найдем $\sqrt{D}$: $$\sqrt{9} = 3$$

Вычислим первый корень ($x_1$): $$x_1 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} = -0,5$$

Вычислим второй корень ($x_2$): $$x_2 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$$

Способ 2: Разложение на множители (группировка)

Этот метод часто быстрее, если коэффициенты небольшие и уравнение имеет целые или простые дробные корни.

Шаг 1. Поиск чисел для разложения

Нам нужно представить средний член $5x$ в виде суммы двух слагаемых так, чтобы можно было сгруппировать члены. Ищем два числа, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$, а сумма равна $b = 5$. Такие числа: 1 и 4 ($1 \cdot 4 = 4$, $1 + 4 = 5$).

Шаг 2. Переписывание уравнения

Разложим $5x$ на $1x + 4x$: $$2x^2 + x + 4x + 2 = 0$$

Шаг 3. Группировка

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых: $$(2x^2 + x) + (4x + 2) = 0$$

Вынесем общие множители за скобки:

• Из первой скобки $(2x^2 + x)$ выносим $x$: $x(2x + 1)$
• Из второй скобки $(4x + 2)$ выносим $2$: $2(2x + 1)$

Получаем: $$x(2x + 1) + 2(2x + 1) = 0$$

Теперь выносим общий множитель $(2x + 1)$: $$(2x + 1)(x + 2) = 0$$

Шаг 4. Нахождение корней

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -0,5$
2. $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

Проверка решения

Подставим найденные корни в исходное уравнение $2x^2 + 5x + 2 = 0$, чтобы убедиться в правильности.

Для $x = -0,5$: $$2 \cdot (-0,5)^2 + 5 \cdot (-0,5) + 2 = 2 \cdot 0,25 - 2,5 + 2 = 0,5 - 2,5 + 2 = 0$$ Верно.

Для $x = -2$: $$2 \cdot (-2)^2 + 5 \cdot (-2) + 2 = 2 \cdot 4 - 10 + 2 = 8 - 10 + 2 = 0$$ Верно.

Частые ошибки при решении

При работе с подобными уравнениями студенты часто допускают следующие ошибки:

1. Ошибка в знаках при подстановке в формулу. Забывают, что $-b$ меняет знак. Если $b=5$, то в формуле должно быть $-5$.
2. Неверный расчет дискриминанта. Путают порядок действий: сначала возводят в квадрат, потом умножают $4ac$, и только затем вычитают. Ошибка $25 - 4 \cdot 2 \cdot 2$ часто решается неверно как $(25-4) \cdot ...$
3. Забытый знаменатель $2a$. Делят только на $2$, забывая умножить на коэффициент $a$. В нашем случае делитель должен быть $4$ ($2 \cdot 2$), а не $2$.
4. Путаница с дробями. При получении ответа $-2/4$ забывают сократить дробь до $-1/2$ или $-0,5$.

FAQ

Можно ли решить это уравнение по теореме Виета? Классическая теорема Виета ($x_1 + x_2 = -b/a$ и $x_1 \cdot x_2 = c/a$) работает напрямую, если старший коэффициент $a=1$. В нашем случае $a=2$. Можно привести уравнение к виду $x^2 + 2,5x + 1 = 0$, но работать с десятичными дробями неудобно. Лучше использовать обобщенный метод разложения (Способ 2) или стандартную формулу дискриминанта.

Что делать, если дискриминант отрицательный? Если бы $D < 0$, уравнение не имело бы действительных корней. В школьной программе обычно говорят «корней нет». В старших классах находят комплексные корни. В данном примере $D=9$, поэтому корни действительные.

Как быстро проверить ответ устно? Подставьте целый корень ($x=-2$). Это проще всего: $2(4) + 5(-2) + 2 = 8 - 10 + 2 = 0$. Если сходится, высока вероятность, что второй корень тоже найден верно (особенно если вы использовали теорему Виета для его поиска после нахождения первого).