Frekans tablosu nasıl oluşturulur: Boy verileri üzerinden eksiksiz kılavuz

Frekans tablosu, bir örneklemede her bir değerin veya değer aralığının kaç kez (hangi sıklıkta) göründüğünü gösteren bir veri sistematizasyon aracıdır. Bunu oluşturmak için verileri düzenlemek, aralığı belirlemek, bu aralığı alt gruplara bölmek ve her bir alt gruba düşen gözlem sayısını hesaplamak gerekir.

Bu yöntem, kaotik bir sayı listesini anlaşılır bir yapıya dönüştürerek özelliklerin dağılımını anında değerlendirmeyi sağlar; örneğin, bir sınıfındaki öğrenciler için en tipik boyun hangisi olduğunu anlamak gibi.

Frekans tablosu oluşturma algoritması

Tablo oluşturma süreci birkaç mantıksal aşamaya ayrılır. Bunları somut bir örnek üzerinden inceleyelim.

Adım 1. Verilerin toplanması ve ön işleme

9. sınıf öğrencilerinden oluşan 30 kişilik bir grubun boylarını (cm cinsinden) ölçtüğümüzü varsayalım. İşte "ham" verilerimiz:

162, 175, 168, 154, 170, 165, 172, 158, 169, 174, 161, 166, 171, 159, 163, 176, 167, 155, 173, 164, 160, 168, 170, 157, 165, 172, 169, 161, 174, 166

İlk işlem, minimum ($X_{min}$) ve maksimum ($X_{max}$) değerleri bulmaktır.

• $X_{min} = 154$ cm
• $X_{max} = 176$ cm

Adım 2. Aralık genişliğinin ve sınıf sayısının belirlenmesi

Değişim aralığı ($R$), maksimum ile minimum arasındaki farktır: $$R = 176 - 154 = 22 \text{ cm}$$

Şimdi, tabloyu her bir ayrı değer için mi (kesikli seri) yoksa verileri aralıklarda mı gruplayarak (sınıflı seri) oluşturacağımıza karar vermeliyiz.

• Eğer değer sayısı azsa (10–15 benzersiz değere kadar), bunları tek tek listelemek mümkündür.
• Eğer değişim aralığı büyükse veya veri çoksa, aralıklar kullanılır.

22 cm'lik değişim aralığına sahip örneğimiz için 5 cm uzunluğunda aralıklar kullanmak uygundur. Bu, antropometrik veriler için standart bir adımdır.

Aralık sayısı ($k$), Sturges formülü ile hesaplanabilir: $k = 1 + 3.322 \cdot \lg(n)$, burada $n$ örneklem hacmidir (30). $$k \approx 1 + 3.322 \cdot 1.477 \approx 5.9$$ Bu değeri 6 aralığa yuvarlarız. Ancak 22'lik bir değişim aralığı ve 5'lik bir adım ile yaklaşık 4–5 aralık elde ederiz ki bu da kabul edilebilir ve daha anlaşılırdır. Adım genişliği olarak $h = 5$ cm seçelim.

Adım 3. Aralık sınırlarının oluşturulması

Minimum değerden veya bunun biraz daha azından başlayarak sınırları "düzgün" hale getirelim. İlk aralığın başlangıcını 154 cm olarak alalım.

Aralıklar şu şekilde görünecektir:

1. 154 – 158
2. 159 – 163
3. 164 – 168
4. 169 – 173
5. 174 – 178

Adım 4. Frekansların sayılması (Tallying)

30 değerlik listenin tamamını tarayarak ilgili aralığa bir "işaret" koyuyoruz.

• 154–158 cm: 154, 158, 155, 157, 159 (hata: 159 sonraki aralığa girer).
  • Yeniden sayım: 154, 158, 155, 157. Toplam: 4 kişi.
• 159–163 cm: 162, 161, 159, 163, 160, 161. Toplam: 6 kişi.
• 164–168 cm: 168, 165, 166, 167, 164, 168, 165, 166. Toplam: 8 kişi.
• 169–173 cm: 170, 172, 169, 171, 173, 170, 172, 169. Toplam: 8 kişi.
• 174–178 cm: 175, 174, 176, 174. Toplam: 4 kişi.

Kontrol: $4 + 6 + 8 + 8 + 4 = 30$. Frekansların toplamı örneklem hacmine eşittir.

Hazır frekans tablosu

Sayımlara dayanarak nihai tabloyu oluşturuyoruz. Daha fazla bilgi sağlamak için bağıl frekans (toplam sayıya oran, yüzde cinsinden) sütunu ekleyelim.

Bağıl frekans formülü: $W_i = \frac{n_i}{N} \cdot 100%$, burada $n_i$ aralık frekansı, $N$ ise toplam gözlem sayısıdır.

9. Sınıf Öğrencilerinin Boy Dağılımı

Elde edilen tablonun analizi

Sadece tablo oluşturmak yeterli değildir; sonuç çıkarmak gerekir. Yukarıdaki verilere baktığımızda şunları görüyoruz:

1. Mod aralığı: Maksimum frekansa sahip iki aralığımız var (8 kişi) — bunlar 164–168 cm ve 169–173 cm. Bu, çoğu öğrencinin 164–173 cm aralığında orta boya sahip olduğu anlamına gelir.
2. Simetri: Dağılım neredeyse simetrik görünmektedir. Frekanslar kenarlardan merkeze doğru yumuşak bir şekilde artmakta ve aynı şekilde yumuşak bir şekilde azalmaktadır.
3. Anomali olmaması: Aralık içinde sıfır frekanslı aralık yoktur, bu da grubun homojen olduğunu gösterir ("çok kısa" ve "çok uzun" arasında ani bir ayrışma yoktur).

Tablo oluştururken yapılan tipik hatalar

Verilerle çalışırken yeni başlayanlar sıkça aşağıdaki hataları yapar:

• Aralıkların örtüşmesi.
  • Yanlış: 150–160, 160–170. 160 değeri nereye konulacak?
  • Doğru: 150–159, 160–169 VEYA [150; 160), [160; 170).
• Farklı aralık genişlikleri. Geçerli nedenler olmadıkça (örneğin, verilerin özgün dağılımı gibi) bir aralığı 5 cm, diğerini 10 cm yapmak uygun değildir. Bu, histogramlardaki görsel algıyı bozar.
• Veri kaybı. Her zaman frekansların toplamını kontrol edin. Eğer $\sum n_i \neq N$ ise, sayım sırasında bir veya daha fazla değeri atlamışsınız demektir.
• Aykırı değerlerin göz ardı edilmesi. Eğer boyu 200 cm olan bir öğrencimiz olsaydı, bu değer tek başına bir aralığa düşerdi. Böyle değerler genel ağa "yayılmamalı", ayrı olarak ele alınmalı veya son aralık genişletilmelidir ("174 ve üzeri").

SSS

Frekans ile bağıl frekans arasındaki fark nedir? Frekans, bir gruptaki nesnelerin mutlak sayısıdır (kaç kişi?). Bağıl frekans ise bu grubun toplam sayıya oranıdır (yüzde kaç?). Bağıl frekans, farklı büyüklükteki örneklemlerin karşılaştırılmasını sağlar.

Bir değer tam olarak aralık sınırına düşerse ne yapılmalı? "Sol sınır dahil, sağ sınır hariç" (veya tam tersi) kuralını kullanın. Önemli olan, bu kuralı sayıma başlamadan önce belirlemek ve tüm veriler için tutarlı bir şekilde uygulamaktır.

Frekans tablosu nitel özellikler (sayı olmayan) için kullanılabilir mi? Evet. Örneğin, göz rengi veya araç markası için. Bu durumda aralıklara gerek yoktur, her kategori (nitel değer) tablonun ayrı bir satırı haline gelir.

Optimal aralık genişliği nasıl seçilir? Evrensel bir kural yoktur, ancak ampirik formüller mevcuttur (Sturges, Scott, Freedman-Diaconis). Pratikte eğitim amaçlı görevler için genellikle 5 ila 10 aralık veren bir adım seçilir; bu, detay düzeyi ve anlaşılırlık arasında altın bir ortalamadır.