Eşkenar dörtgenin büyük köşegeni: nasıl bulunur ve hata yapılmaz

Eşkenar dörtgenin büyük köşegeninin uzunluğunu bulmak için ya kenarı ve küçük köşegeni bilmek gerekir ya da alanı ve köşegenlerden birini. Temel formüller: $d_2 = \sqrt{4a^2 - d_1^2}$ (eğer kenar $a$ ve diğer köşegen $d_1$ biliniyorsa) veya $d_2 = \frac{2S}{d_1}$ (eğer alan $S$ biliniyorsa). Büyük köşegen her zaman eşkenar dörtgenin geniş açısının karşısında yer alır ve onu ikiye böler.

Eşkenar dörtgen, eşit kenarlara sahip bir paralelkenardır. Köşegenleri dik açıyla kesişir ve kesişim noktasında ikiye bölünür. Bu özellik, köşegenleri bulma problemlerini dik üçgenlerin çözümüne veya alan formüllerinin kullanımına indirgemeyi sağlar. Aşağıda, örneklerle birlikte büyük köşegeni hesaplamanın tüm yollarını inceleyeceğiz.

Köşegenlerin temel özellikleri

Soruları başarıyla çözmek için eşkenar dörtgenin köşegenleri ($d_1$ ve $d_2$) hakkında üç temel gerçeği hatırlamak önemlidir:

1. Diklik: Köşegenler $90^\circ$ açıyla kesişir.
2. Açıortaylar: Her köşegen eşkenar dörtgenin açılarını ikiye böler.
3. İkiye bölme: Kesişim noktası her köşegeni iki eşit parçaya ayırır.

Böylece, köşegenler eşkenar dörtgeni dört eşit dik üçgene ayırır. Bu üçgenlerin dik kenarları köşegenlerin yarısına ($\frac{d_1}{2}$ ve $\frac{d_2}{2}$), hipotenüsü ise eşkenar dörtgenin kenarına ($a$) eşittir.

Büyük köşegeni bulma formülleri

Formül seçimi, soruda verilen verilere bağlıdır. Büyük köşegeni $d_{big}$, küçük köşegeni ise $d_{small}$ olarak gösterelim.

1. Eşkenar dörtgenin kenarı ($a$) ve küçük köşegeni ($d_{small}$) biliniyorsa

Dört iç üçgenden biri için Pisagor teoremini kullanıyoruz:

$$ \left(\frac{d_{big}}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_{small}}{2}\right)^2 = a^2 $$

Buradan büyük köşegeni çekiyoruz:

$$ d_{big} = \sqrt{4a^2 - d_{small}^2} $$

2. Alan ($S$) ve bir köşegen ($d_1$) biliniyorsa

Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerinin çarpımının yarısına eşittir:

$$ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} $$

Buradan ikinci köşegen kolayca bulunur:

$$ d_2 = \frac{2S}{d_1} $$

Hangisinin büyük olduğunu belirlemek için elde edilen $d_2$ ile başlangıçtaki $d_1$'i karşılaştırın.

3. Kenar ($a$) ve eşkenar dörtgenin açısı ($\alpha$) biliniyorsa

Büyük köşegen daha büyük açının karşısında yer alır. Eğer $\alpha$ dar açıysa, büyük köşegen $d_{big}$ iki kenar ve bu köşegen tarafından oluşturulan üçgen için kosinüs teoremi ile hesaplanır (kenarlar arasındaki açı $180^\circ - \alpha$ olacaktır):

$$ d_{big} = a \sqrt{2 - 2\cos(180^\circ - \alpha)} = a \sqrt{2 + 2\cos(\alpha)} $$

Veya daha basit olarak, açının yarısı üzerinden:

$$ d_{big} = 2a \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(eğer } \alpha \text{ dar açıysa, bu küçük köşegendir!)} $$

Önemli: Açılara dikkat edin.

• Küçük köşegen: $d_{small} = 2a \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$ (burada $\alpha$ herhangi bir açıdır, ancak genellikle kolaylık olması açısından dar açı alınır, o zaman sinüs dar açının yarısının karşısındaki dik kenarı verir... durun, basitleştirelim).

Doğrusu şöyle hatırlamaktır:

• $d_1 = 2a \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$
• $d_2 = 2a \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$

Burada $\alpha$ eşkenar dörtgenin açısıdır. Trigonometrik fonksiyonun daha büyük değerine karşılık gelen köşegen daha büyük olacaktır. Dar açı $\alpha < 90^\circ$ için, $\cos(\alpha/2) > \sin(\alpha/2)$ olur, yani dar açının köşesinden çıkan (geniş açıyı bölen) köşegen daha büyük müdür? Hayır.

Gelin tüm şekil için kosinüs teoremi üzerinden güvenilir yöntemi kullanalım: $$ d^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha)) $$ Bu, $\alpha$ açısının karşısındaki köşegendir. Eğer $\alpha$ geniş açıysa, $\cos(\alpha)$ negatiftir, $(1 - \cos(\alpha))$ büyük bir sayı olur. Demek ki, geniş açının karşısındaki köşegen her zaman daha büyüktür.

Tipik soruların çözümü

Soru 1: Kenar ve bir köşegen verilmiş

Koşul: Eşkenar dörtgenin kenarı $a = 13$ cm, köşegenlerinden biri $d_1 = 10$ cm. Büyük köşegeni bulunuz.

Çözüm:

1. $d_2 = \sqrt{4a^2 - d_1^2}$ formülüyle ikinci köşegeni $d_2$ bulalım.
2. Sayıları yerine koyelim: $d_2 = \sqrt{4 \cdot 13^2 - 10^2} = \sqrt{4 \cdot 169 - 100} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576}$.
3. $\sqrt{576} = 24$ cm.
4. Köşegenleri karşılaştıralım: $24 > 10$.

Cevap: Büyük köşegen 24 cm'dir.

Soru 2: Alan ve bir köşegen verilmiş

Koşul: Eşkenar dörtgenin alanı $S = 252$ cm², bir köşegeni $d_1 = 14$ cm. Büyük köşegeni bulunuz.

Çözüm:

1. Alan formülünü kullanalım: $d_2 = \frac{2S}{d_1}$.
2. Sayıları yerine koyelim: $d_2 = \frac{2 \cdot 252}{14} = \frac{504}{14}$.
3. Hesaplayalım: $504 / 14 = 36$ cm.
4. Karşılaştıralım: $36 > 14$.

Cevap: Büyük köşegen 36 cm'dir.

Soru 3: Kenar ve dar açı verilmiş

Koşul: Eşkenar dörtgenin kenarı $a = 10$ cm, dar açı $60^\circ$'dir. Büyük köşegeni bulunuz.

Çözüm:

1. Büyük köşegen geniş açının karşısında yer alır. Eşkenar dörtgenin geniş açısı $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$'dir.
2. Kenarları $a, a$ ve aralarındaki açı $120^\circ$ olan üçgen için kosinüs teoremini uygulayalım: $$ d_{big}^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ) $$
3. $\cos(120^\circ) = -0.5$ olduğundan: $$ d_{big}^2 = 100 + 100 - 200 \cdot (-0.5) = 200 + 100 = 300 $$
4. $d_{big} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17.32$ cm.

Cevap: Büyük köşegen $10\sqrt{3}$ cm'dir.

Sık yapılan hatalar

SSS

Sadece çevreye göre köşegen bulunabilir mi? Hayır. Çevre sadece kenar uzunluğunu verir ($P = 4a$). Eşkenar dörtgenin şekli (ve köşegenlerinin uzunluğu) kenar değişmeden değişebilir (eşkenar dörtgen "ezilebilir"). Başka bir parametre daha gerekir: açı, alan veya ikinci köşegen.

Hangi köşegene büyük köşegen denir? Uzunluğu daha büyük olan köşegene. Geometrik olarak, eşkenar dörtgenin dar açılarının köşelerini birleştirir ve geniş açılarının karşısında yer alır. Her zaman eşkenar dörtgenin kenarından daha uzundur (eşkenar dörtgenin kareye dönüşmediği durumlarda, karenin köşegenleri eşittir).

Köşegenler eşit olursa ne olur? Eğer $d_1 = d_2$ ise, eşkenar dörtgen bir karedir. Bu durumda "büyük" köşegen kavramı anlamını yitirir, çünkü hepsi aynıdır. Formül $d = a\sqrt{2}$ şeklinde sadeleşir.