Aynı tabanlı logaritmalar nasıl bölünür

Kerem Aydın·8 Temmuz 2026·⏱4 dk

Aynı tabana sahip iki logaritmanın bölünmesi, tabanın paydanın argümanına dönüştüğü ve argümanın payın argümanı olduğu bir logaritmaya eşdeğerdir. Basitçe ifade etmek gerekirse: $\frac{\log_b a}{\log_b c}$ bölme işleminde $b$ tabanı ortadan kalkar ve $\log_c a$ sonucunu elde ederiz. Bu özellik genellikle özel bir durumda yeni tabana geçiş formülü olarak adlandırılır.

Kuralın özü ve matematiksel gösterim

Kuralın uygulanması için temel koşul — her iki logaritmanın tabanlarının aynı olmasıdır. Eğer bu koşul sağlanıyorsa, kesir sadeleşir ve alttaki logaritmanın tabanı ortak taban yerine geçer.

Formül şu şekildedir:

$$ \frac{\log_b a}{\log_b c} = \log_c a $$

Burada:

  • $b$ — ortak taban ($b > 0, b \neq 1$);
  • $a$ — payın argümanı ($a > 0$);
  • $c$ — paydanın argümanı, yeni taban haline gelir ($c > 0, c \neq 1$).

Bu neden çalışır? Bu, yeni tabana geçiş formülünün bir sonucudur: $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$. $\frac{\log_b a}{\log_b c}$ bölme işleminde, pay ve paydadaki ortak çarpanlar olan $\ln b$ sadeleşir, geriye $\frac{\ln a}{\ln c}$ kalır ki bu tanım gereği $\log_c a$'ya eşittir.

Adım adım çözüm örnekleri

Kuralın uygulanmasını basitten daha karmaşığa doğru somut sayılarla inceleyelim.

Örnek 1: Onluk logaritmalar

İfadenin değerini hesaplayınız: $$ \frac{\lg 100}{\lg 1000} $$ (Burada $\lg$, 10 tabanındaki logaritmayı ifade eder)

Çözüm:

  1. Tabanlar aynıdır (10), kuralı uyguluyoruz: 10 tabanını kaldırıyoruz, paydanın argümanı (1000) yeni taban haline geliyor. $$ \frac{\lg 100}{\lg 1000} = \log_{1000} 100 $$
  2. Sayıları 10'un kuvveti olarak yazalım: $100 = 10^2$, $1000 = 10^3$. $$ \log_{10^3} (10^2) $$
  3. Tabandaki üssün özelliğini kullanıyoruz: tabandaki üs, $\frac{2}{3}$ kesri olarak dışarı çıkar. Cevap: $\frac{2}{3}$.

Doğrudan hesaplama ile kontrol: $\lg 100 = 2$, $\lg 1000 = 3$. Kesir $2/3$. Sonuç uyuşuyor.

Örnek 2: Doğal logaritmalar

İfadeyi sadeleştiriniz: $$ \frac{\ln e^5}{\ln e^3} $$

Çözüm:

  1. Bölme kuralını uyguluyoruz: $$ \frac{\ln e^5}{\ln e^3} = \log_{e^3} (e^5) $$
  2. Üsleri tabandan ve argümandan dışarı çıkarıyoruz: $$ \frac{5}{3} \cdot \log_e e = \frac{5}{3} \cdot 1 $$ Cevap: $\frac{5}{3}$ (veya $1.\overline{6}$).

Örnek 3: Değişken büyüklükler

$x > 0, x \neq 1$ koşulu altında ifadeyi sadeleştiriniz: $$ \frac{\log_2 x^2}{\log_2 x} $$

Çözüm:

  1. Yeni tabana geçiyoruz (payda taban haline gelir): $$ \log_x (x^2) $$
  2. Bir sayının kendi tabanındaki logaritması, üsse eşittir: Cevap: $2$.

Kontrol için ipucu Kuraldan şüphe duyuyorsanız, pay ve paydayı ayrı ayrı hesaplayın (eğer tabloda varsa) ve elde edilen sayıları bölün. Bu, taban değiştirme hatasından kaçınmanıza yardımcı olacaktır.

Çözüm sırasında yapılan tipik hatalar

Logaritma bölme işlemlerinde öğrenciler en sık üç tür hata yapar:

  1. Farklı tabanları görmezden gelmek. $\frac{\log_b a}{\log_b c} = \log_c a$ kuralı sadece üstteki ve alttaki tabanlar özdeş ise çalışır. Hata: $\frac{\log_2 8}{\log_3 9} \neq \log_9 8$. Çözüm: Böyle durumlarda ya değerleri doğrudan hesaplamak gerekir ya da taban değiştirme formülü aracılığıyla ortak tabana getirilmelidir.

  2. Çıkarma işlemiyle karıştırmak. Logaritmaların bölünmesini, bölümün logaritması ile karıştırmayın.

    • Bölme: $\frac{\log_b a}{\log_b c} = \log_c a$ (taban değişir).
    • Fark: $\log_b a - \log_b c = \log_b (\frac{a}{c})$ (taban korunur, argümanlar bölünür).

  3. Tanım kümesinin (ODZ) ihlal edilmesi. Yeni taban (eski paydanın argümanı) 1'e eşit olmamalı veya negatif olmamalıdır. Her zaman $c > 0$ ve $c \neq 1$ olduğunu kontrol edin.

Bağımsız alıştırma soruları

Öğrendiğiniz kuralı kullanarak bu örnekleri çözmeyi deneyin:

  1. $\frac{\log_5 25}{\log_5 125}$

    Cevabı görmek için tıklayın Cevap: $\log_{125} 25 = \frac{2}{3}$

  2. $\frac{\log_3 81}{\log_3 9}$

    Cevabı görmek için tıklayın Cevap: $\log_9 81 = 2$

  3. $\frac{\log_a x^3}{\log_a x}$ ($x>0, x \neq 1$ için)

    Cevabı görmek için tıklayın Cevap: $3$

Sıkça Sorulan Sorular (SSS)

Payda bir varsa bu kural uygulanabilir mi? Evet. Örneğin, $\frac{1}{\log_b a}$. Bir sayısı $\log_b b$ olarak temsil edebiliriz. O zaman ifade $\frac{\log_b b}{\log_b a} = \log_a b$ halini alır. Bu, karşılıklı ters logaritmalar özelliğidir.

Tabanlar farklıysa ama üslü ilişki içindeyse (örneğin 2 ve 4) ne yapılmalı? Bölme kuralını uygulamadan önce onları aynı forma getirmek gerekir. Örneğin, $\log_4 a$ ifadesi $\frac{\log_2 a}{\log_2 4} = \frac{\log_2 a}{2}$ şeklinde dönüştürülebilir. Ortak tabana getirildikten sonra bölme kuralı uygulanabilir hale gelir.

Bu okul cebiri dışında nerede kullanılır? Bu özellik, bilgisayar bilimlerinde algoritmaların karmaşıklığını değerlendirirken (2 tabanından 10 veya $e$ tabanına geçiş), fizikte sinyal seviyelerini hesaplamada (desibel) ve kimyada asidite ölçeklerinin dönüştürülmesinde kritik öneme sahiptir.