Görev №1088 İncelemesi: Doğrusal Denklem Sistemleri

7. sınıf cebir ders kitabındaki (yazarlar Y.N. Makarichev ve diğerleri) 1088 numaralı görevde, iki bilinmeyenli dört doğrusal denklem sisteminin çözülmesi istenmektedir. Burada çözüm için en uygun yöntem yerine koyma yöntemidir. Aşağıda her bir seçenek (a, b, c, d) için tam cevaplar ve adım adım algoritmalar ile birlikte tipik hataların analizi sunulmaktadır.

Kendi kendinizi kontrol etmek için kısa cevaplar:

• a) $(-4; 3)$
• b) $(-2; 7)$
• c) $(-10; 5)$
• d) $(-11; -4)$

Yerine Koyma Yöntemiyle Çözüm Algoritması

Belirli örneklere geçmeden önce, bu sorudaki dört sistemin hepsine uygulanabilen evrensel eylem planını hatırlayalım:

1. Denklem Seçimi: Sistemin, değişkenlerden birinin katsayısı $1$ veya $-1$ olan ya da sayıların daha küçük ve bölme işlemi için daha kolay olduğu denklemi seçin.
2. Değişkeni İfade Etme: Bir değişkeni (örneğin $x$) diğer değişken ($y$) cinsinden ifade edin.
3. Yerine Koyma: Elde edilen ifadeyi, sistemin ikinci denklemindeki ilgili değişkenin yerine koyun.
4. Doğrusal Denklemi Çözme: Tek bilinmeyenli elde edilen denklemi çözün.
5. İkinci Değişkeni Bulma: Bulunan değeri 2. adımdaki ifadeye yerleştirin.
6. Cevabı Yazma: Sonucu sıralı ikili $(x; y)$ şeklinde düzenleyin.

Seçeneklerin Detaylı Çözümü

Seçenek a

$$ \begin{cases} 3x + 4y = 0 \ 2x + 3y = 1 \end{cases} $$

Adım 1. İlk denklemden $x$'i ifade edelim: $$3x = -4y \implies x = -\frac{4}{3}y$$

Adım 2. $x$'i ikinci denkleme yerleştirelim: $$2 \cdot \left(-\frac{4}{3}y\right) + 3y = 1$$

Adım 3. $y$'ye göre denklemi çözelim: $$-\frac{8}{3}y + 3y = 1$$ Ortak paydaya getirelim ($3y = \frac{9}{3}y$): $$-\frac{8}{3}y + \frac{9}{3}y = 1$$ $$\frac{1}{3}y = 1 \implies y = 3$$

Adım 4. $x$'i bulalım: $$x = -\frac{4}{3} \cdot 3 = -4$$

Cevap: $(-4; 3)$

---

Seçenek b

$$ \begin{cases} 7x + 2y = 0 \ 9x + 4y = 10 \end{cases} $$ (Not: İkinci denklemde standart $Ax+By=C$ formu için terimler yeniden düzenlenmiştir)

Adım 1. İkinci denklemdeki $4y$, $2y$'nin katı olduğu için ilk denklemden $2y$'yi ifade etmek uygundur: $$2y = -7x$$

Adım 2. $4y = 2 \cdot (2y)$ olduğunu fark edelim. İkinci denklemde $2y$ yerine $-7x$ koyalım: $$9x + 2 \cdot (-7x) = 10$$

Adım 3. $x$'e göre çözelim: $$9x - 14x = 10$$ $$-5x = 10 \implies x = -2$$

Adım 4. $2y = -7x$ ifadesini kullanarak $y$'yi bulalım: $$2y = -7 \cdot (-2)$$ $$2y = 14 \implies y = 7$$

Cevap: $(-2; 7)$

---

Seçenek c

$$ \begin{cases} 5x + 6y = -20 \ 2x + 9y = 25 \end{cases} $$

Adım 1. İlk denklemden $x$'i ifade edelim (5'e böleriz): $$5x = -20 - 6y \implies x = -4 - 1.2y$$ (Veya sade kesirlerle: $x = -4 - \frac{6}{5}y$)

Adım 2. İkinci denkleme yerleştirelim: $$2(-4 - 1.2y) + 9y = 25$$

Adım 3. Parantezleri açalım ve çözelim: $$-8 - 2.4y + 9y = 25$$ $$6.6y = 25 + 8$$ $$6.6y = 33$$ $$y = \frac{33}{6.6} = 5$$

Adım 4. $x$'i bulalım: $$x = -4 - 1.2 \cdot 5 = -4 - 6 = -10$$

Cevap: $(-10; 5)$

---

Seçenek d

$$ \begin{cases} 3x + 1 = 8y \ 11y - 3x = -11 \end{cases} $$

Adım 1. Burada her iki denklemde de $3x$ teriminin bulunduğunu fark etmek uygundur. İlk denklemde $3x = 8y - 1$.

Adım 2. $3x$ ifadesini ikinci denkleme yerleştirelim. İkinci denklemde $3x$'in önündeki işarete dikkat edin (orada $-3x$ var): $$11y - (8y - 1) = -11$$

Adım 3. $y$'ye göre çözelim: $$11y - 8y + 1 = -11$$ $$3y = -11 - 1$$ $$3y = -12 \implies y = -4$$

Adım 4. $3x = 8y - 1$ üzerinden $x$'i bulalım: $$3x = 8 \cdot (-4) - 1$$ $$3x = -32 - 1$$ $$3x = -33 \implies x = -11$$

Cevap: $(-11; -4)$

Çözümlerin Kontrolü

Aritmetik hataları elemek için bulunan sayı çiftlerini mutlaka orijinal sistemlere yerleştirerek kontrol edin.

Sık Yapılan Hatalar

1088 numaralı görevi çözerken öğrenciler çoğunlukla şu hataları yapmaktadır:

1. Parantez açılırken işaret kaybı.

   • Hata: (d) seçeneğinde $-(8y - 1)$ yerine koyarken birlinin işaretini değiştirmeyi unutup $-8y - 1$ elde etmek.
   • Doğrusu: Parantez önündeki eksi, içindeki tüm terimlerin işaretini değiştirir: $-8y + 1$.

2. Kesirlerle ilgili hatalar.

   • Hata: (a) seçeneğinde $2 \cdot (-\frac{4}{3}y)$ çarpımında $-\frac{8}{3}$ bulunur ancak ardından $3y$ ile yanlış toplanır.
   • Tavsiye: Kesirleri ortak paydaya dikkatlice getirin. $3y = \frac{9}{3}y$.

3. Değişkenin yanlış ifade edilmesi.

   • Hata: $5x + 6y = -20$ denkleminden $x = -20 - 6y$ yazmak, sağ taraftaki tüm terimleri 5'e bölmeyi unutarak.
   • Doğrusu: $x = \frac{-20 - 6y}{5}$ veya $x = -4 - 1.2y$.

4. Karıştırılan koordinatlar.

   • Cevabı $(x; y)$ yerine $(y; x)$ olarak yazmak. Hangi değişkeni önce bulduğunuzu her zaman kontrol edin.

SSS

Bu sistemler toplama yöntemiyle çözülebilir mi? Evet, tüm bu sistemler cebirsel toplama yöntemiyle çözülebilir. Örneğin, (b) seçeneğinde ilk denklemi $-2$ ile çarparak $-14x - 4y = 0$ elde edebilir ve bunu ikinci denklem $9x + 4y = 10$ ile toplayabilirsiniz. Ancak burada yerine koyma yöntemi, özellikle bir değişken kolayca ifade edilebiliyorsa, genellikle daha hızlıdır.

Cevapta karmaşık kesirler çıkarsa ne yapılmalı? Her adımı tekrar kontrol edin. 1088 seviyesindeki okul problemlerinde cevaplar genellikle tam sayılardır. Eğer hantal kesirler çıktıysa, büyük olasılıkla parantez açma veya terim taşıma aşamasında aritmetik bir hata yapılmıştır.

Bu beceri nerede işe yarar? Doğrusal denklem sistemlerini çözme becerisi, hareket, iş ve karışım problemlerini çözmek için gereklidir; bu tür problemler matematik OGÉ'de (9. sınıf) ve 8–9. sınıf cebir müfredatında karşımıza çıkar.