Формула квадрата разности: как применять и не ошибаться
Квадрат разности вычисляется по формуле (a−b)² = a² − 2ab + b²: квадрат первого числа минус удвоенное произведение плюс квадрат второго. Эта формула позволяет быстро раскрывать скобки, упрощать выражения и считать в уме — например, 98² = (100−2)² = 10 000 − 400 + 4 = 9 604.
Формула работает в обе стороны: если видите выражение вида a² − 2ab + b², его можно свернуть в компактный квадрат (a−b)².
Оглавление
Что такое квадрат разности
Квадрат разности — это возведение в квадрат выражения вида (a−b). При раскрытии скобок получается трёхчлен: первый член в квадрате, минус удвоенное произведение, плюс второй член в квадрате.
Порядок знаков критически важен: минус перед 2ab, плюс перед b². Запомните мнемонику: «квадрат первого, минус двойное произведение, плюс квадрат второго».
Вывод формулы
Формулу легко получить самостоятельно, раскрыв скобки по правилу умножения многочленов:
(a−b)² = (a−b)(a−b) = a·a − a·b − b·a + b·b = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b²
Средние слагаемые −ab и −ab складываются в −2ab — отсюда и коэффициент 2 в формуле.
Проверьте себя: раскройте (a−b)(a−b) вручную. Если в середине получилось два одинаковых отрицательных слагаемых — вы на правильном пути.
Примеры применения
Алгебраические выражения
| Выражение | Раскрытие по формуле | Результат |
|---|---|---|
| (x−3)² | x² − 2·x·3 + 3² | x² − 6x + 9 |
| (2y−5)² | (2y)² − 2·2y·5 + 5² | 4y² − 20y + 25 |
| (3a−4b)² | (3a)² − 2·3a·4b + (4b)² | 9a² − 24ab + 16b² |
Устный счёт: квадраты чисел
Формула особенно полезна для быстрого возведения в квадрат чисел, близких к круглым:
- 98² = (100−2)² = 100² − 2·100·2 + 2² = 10 000 − 400 + 4 = 9 604
- 89² = (90−1)² = 90² − 2·90·1 + 1² = 8 100 − 180 + 1 = 7 921
- 47² = (50−3)² = 50² − 2·50·3 + 3² = 2 500 − 300 + 9 = 2 209
Выбирайте ближайшее круглое число как «a», а разницу — как «b». Так вы сведёте сложные вычисления к простым действиям с нулями.
Обратное применение: разложение на множители
Если в выражении видна структура a² − 2ab + b², его можно свернуть:
- x² − 10x + 25 = (x−5)²
- 4m² − 12mn + 9n² = (2m−3n)²
- 16 − 8y + y² = (4−y)²
Как не ошибиться
Главная ловушка — перепутать квадрат разности с квадратом суммы:
| Формула | Знак перед 2ab |
|---|---|
| (a+b)² = a² + 2ab + b² | Плюс |
| (a−b)² = a² − 2ab + b² | Минус |
Ещё один нюанс: (b−a)² = (a−b)², потому что при возведении в квадрат знак разности исчезает. Порядок слагаемых в скобках не влияет на результат.
Не пишите (a−b)² = a² − ab + b². Средний член обязательно должен быть −2ab, иначе формула неверна.
Где применяется формула
- Упрощение алгебраических выражений и решение уравнений
- Разложение многочленов на множители
- Быстрые устные вычисления в быту и на экзаменах
- Подготовка к ОГЭ/ЕГЭ: формула входит в базовый набор тождеств
Частые ошибки
- Пропуск коэффициента 2: (a−b)² ≠ a² − ab + b²
- Неправильный знак: путаница с формулой квадрата суммы
- Ошибка в квадратах коэффициентов: (2x)² = 4x², а не 2x²
- Неверное применение к сумме: (a−b)² нельзя раскрывать как a² − b²
FAQ
В чём разница между (a−b)² и a²−b²?
(a−b)² = a² − 2ab + b² — это квадрат разности. a²−b² = (a−b)(a+b) — это разность квадратов, совсем другая формула.
Можно ли применять формулу к выражениям с минусом перед скобкой?
Да, но сначала вынесите минус: −(x−3)² = −(x²−6x+9) = −x²+6x−9. Формула применяется к содержимому скобок.
Что делать, если перед переменными стоят коэффициенты?
Возводите в квадрат всё слагаемое целиком: (3x−2)² = (3x)² − 2·3x·2 + 2² = 9x² − 12x + 4.
Как быстро проверить правильность раскрытия?
Подставьте простые числа вместо переменных. Например, для (x−2)² при x=3: слева (3−2)²=1, справа 3²−2·3·2+2²=9−12+4=1. Совпадает — формула применена верно.