Правильный тетраэдр: полный обзор определения, свойств и формул
Правильный тетраэдр — один из пяти правильных многогранников, состоящий из четырёх равносторонних треугольников. У него 4 вершины, 6 равных рёбер и 4 одинаковые грани, все плоские углы 60°.
Что такое правильный тетраэдр
Правильный тетраэдр — это простейший из пяти правильных многогранников, объёмное геометрическое тело, полностью составленное из равносторонних треугольников. Все его четыре грани равны между собой, а все шесть рёбер имеют одинаковую длину. Благодаря полному равенству всех элементов такое тело обладает наивысшей степенью симметрии среди всех тетраэдров.
Геометрические свойства
Тетраэдр имеет ряд характерных свойств, напрямую вытекающих из равенства всех его рёбер и граней:
- Плоские углы. Каждый внутренний угол любой грани составляет ровно 60°, поскольку все грани являются правильными треугольниками.
- Периметры и площади. В силу равенства всех граней их периметры и площади также совпадают между собой.
- Плоскости симметрии. У правильного тетраэдра существует 6 плоскостей симметрии. Каждая из них проходит через одно ребро и середину противоположного ребра.
- Двугранные углы. Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos(1/3)$, что составляет приблизительно 70,53°.
- Сферы. В правильный тетраэдр можно вписать сферу, а также описать сферу вокруг него.
- Высота. Высота тела соединяет одну из вершин с центром противоположной грани и перпендикулярна этой грани.
Центр правильного тетраэдра лежит на его высоте — именно в этой точке совпадают центры вписанной и описанной сфер, а также центр тяжести многогранника.
Основные формулы
Все метрические соотношения правильного тетраэдра выражаются через длину его ребра $a$. Сводка ключевых формул приведена в таблице.
| Параметр | Формула |
|---|---|
| Объём | $V = \dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3$ |
| Площадь полной поверхности | $S = \sqrt{3} \cdot a^2$ |
| Высота | $h = a\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ или $h = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ |
| Радиус вписанной сферы | $r = \dfrac{a\sqrt{6}}{12}$ |
| Радиус описанной сферы | $R = \dfrac{a\sqrt{6}}{4}$ |
Площадь полной поверхности складывается из площадей четырёх равносторонних треугольников, а высота выводится из соотношений центра тела и его вершин. Радиусы вписанной и описанной сфер определяются положением центра многогранника, который совпадает с центром тяжести и лежит на высоте тела.