Передаточная функция в автоматике: определение, формулы и примеры расчета

Иван Корнев·25 сентября 2026·⏱3 мин

Передаточная функция в автоматике — это отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к входному при нулевых начальных условиях. Формула: W(s) = Y(s)/U(s).

Оглавление

Математическая формула и основные понятия

Если $u(t)$ — входной сигнал, а $y(t)$ — выходной сигнал системы, то передаточная функция $W(s)$ записывается следующим образом: $$W(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$$ где:

  • $s = \sigma + j\omega$ — комплексная переменная (оператор Лапласа);
  • $U(s)$ и $Y(s)$ — изображения по Лапласу для сигналов $u(t)$ и $y(t)$ соответственно.

Как правило, передаточная функция представляет собой дробно-рациональную функцию вида $W(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$. Корни знаменателя $D(s)$ называются полюсами системы, а корни числителя $N(s)$ — нулями.

Примеры расчета передаточной функции

Пример 1: Апериодическое звено первого порядка (RC-цепь)

Рассмотрим простейший объект, описываемый дифференциальным уравнением первого порядка, например, электрическую цепь из резистора и конденсатора. Ее дифференциальное уравнение имеет вид: $$T \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = k \cdot u(t)$$ где $T$ — постоянная времени (для RC-цепи $T = R \cdot C$), $k$ — коэффициент передачи.

Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения, полагая начальные условия нулевыми ($y(0) = 0$): $$T \cdot s \cdot Y(s) + Y(s) = k \cdot U(s)$$ Вынесем $Y(s)$ за скобки: $$Y(s) \cdot (T \cdot s + 1) = k \cdot U(s)$$ Отсюда получаем искомую передаточную функцию апериодического звена: $$W(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{k}{T \cdot s + 1}$$

Пример 2: Замкнутая система с отрицательной обратной связью

В автоматике большинство систем являются замкнутыми (САУ). Если разомкнутая система имеет передаточную функцию $W_{раз}(s)$ и охвачена единичной отрицательной обратной связью, то передаточная функция замкнутой системы $W_{зам}(s)$ по управляющему воздействию рассчитывается по формуле: $$W_{зам}(s) = \frac{W_{раз}(s)}{1 + W_{раз}(s)}$$

Знаменатель этой дроби, приравненный к нулю ($1 + W_{раз}(s) = 0$), образует характеристическое уравнение замкнутой системы. Анализ корней этого уравнения (полюсов) является основным методом оценки устойчивости системы.

Практическое значение в ТАУ

  • Упрощение расчетов: Позволяет заменить операцию дифференцирования умножением на оператор $s$, что упрощает анализ сложных структур с последовательными, параллельными и встречно-параллельными соединениями звеньев.
  • Анализ устойчивости: По расположению полюсов на комплексной плоскости (например, с помощью критериев Найквиста или Михайлова) можно определить, будет ли система устойчивой.
  • Расчет реакций системы: Зная передаточную функцию и вид входного сигнала, можно найти выходной сигнал, а также построить частотные (АЧХ, ФЧХ) и переходные характеристики системы.

Частые ошибки

  • Игнорирование нулевых начальных условий: Передаточная функция корректна только при нулевых начальных условиях. Их наличие требует использования полного преобразования Лапласа, а не упрощенного отношения изображений.
  • Путаница между полюсами и нулями: Полюсы — это корни знаменателя $D(s)$, а нули — корни числителя $N(s)$. Ошибка в их определении ведет к неверному анализу устойчивости и динамики системы.

FAQ

Как найти передаточную функцию по дифференциальному уравнению? Необходимо применить преобразование Лапласа к обеим частям уравнения, полагая начальные условия равными нулю, а затем алгебраически выразить отношение изображения выходного сигнала $Y(s)$ к изображению входного $U(s)$.

Что такое характеристическое уравнение системы? Это знаменатель передаточной функции замкнутой системы, приравненный к нулю. Его корни (полюсы) напрямую определяют устойчивость автоматической системы управления.