Длина разности векторов: правила вычисления и задачи

Длина разности векторов — это расстояние между концами двух векторов, отложенных из общего начала. Она вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов разностей соответствующих координат или через скалярное произведение исходных векторов.

Геометрический смысл разности

Чтобы найти разность $\vec{a} - \vec{b}$, необходимо отложить оба вектора из одной точки. Согласно правилу треугольника, результирующий вектор соединяет конец вычитаемого вектора ($\vec{b}$) с концом уменьшаемого ($\vec{a}$). Таким образом, вектор разности направлен от конца $\vec{b}$ к концу $\vec{a}$ при условии их общего начала.

Формулы вычисления длины

Существует два основных подхода к нахождению модуля разности векторов: через координаты и через скалярное произведение.

Через координаты

Если известны координаты векторов, формула зависит от размерности пространства:

• Для плоскости (2D): Если $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$, то: $$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$$

• Для трехмерного пространства (3D): Если $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$, то: $$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}$$

Через скалярное произведение

Альтернативный способ использует длины самих векторов и угол между ними (выраженный через скалярное произведение): $$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b}}$$

Эта формула особенно полезна, когда координаты неизвестны, но даны длины векторов и угол между ними.

Свойства модуля разности

Модуль разности векторов подчиняется неравенству треугольника. Для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо соотношение: $$|\vec{a} - \vec{b}| \ge ||\vec{a}| - |\vec{b}||$$

Это означает, что длина разности не может быть меньше разности длин исходных векторов.

Пример решения задачи

Рассмотрим классическую задачу на вычисление длины разности двух векторов на плоскости.

Дано: Вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(3, 4)$. Вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(1, 2)$.

Найти: Длину вектора разности $|\vec{a} - \vec{b}|$.

Решение: Используем формулу для двумерного пространства: $$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - 2)^2}$$

Вычисляем разности координат: $$3 - 1 = 2$$ $$4 - 2 = 2$$

Подставляем значения под корень: $$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$$

Упрощаем результат: $$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

Ответ: Длина разности векторов равна $2\sqrt{2}$.

Частые ошибки

• Неправильное направление вектора. При геометрическом построении разности $\vec{a} - \vec{b}$ часто ошибочно проводят вектор от конца $\vec{a}$ к концу $\vec{b}$. Правильное направление — от конца вычитаемого ($\vec{b}$) к концу уменьшаемого ($\vec{a}$).
• Забывание знака минус в формуле. В формуле через скалярное произведение перед удвоенным произведением стоит знак минус: $- 2\vec{a}\cdot\vec{b}$. Использование плюса даст неверный результат (это будет формула для суммы векторов).
• Ошибка в порядке вычитания координат. Хотя при возведении в квадрат знак разницы нивелируется ($(x_1-x_2)^2 = (x_2-x_1)^2$), важно соблюдать логику для понимания направления самого вектора разности, а не только его длины.

FAQ

Как найти длину разности векторов, если они заданы координатами? Необходимо вычесть соответствующие координаты второго вектора из первого, возвести полученные разности в квадрат, сложить их и извлечь квадратный корень из суммы.

В чем отличие формулы длины разности от длины суммы векторов? Формула через скалярное произведение для разности содержит знак минус перед удвоенным скалярным произведением ($- 2\vec{a}\cdot\vec{b}$), тогда как для суммы используется знак плюс ($+ 2\vec{a}\cdot\vec{b}$).

Что означает неравенство $|\vec{a} - \vec{b}| \ge ||\vec{a}| - |\vec{b}||$? Это свойство модуля разности, которое гласит, что длина разности двух векторов всегда больше или равна абсолютному значению разности их длин.