Обозначения и знак включения в математике и логике: полный гид
Знак включения в математике и логике — это система специальных символов для записи операций: конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, импликации и эквивалентности.
Оглавление
Основные логические операции
В математической логике применяется система специальных символов для обозначения различных операций.
Конъюнкция (логическое умножение, И)
- ∧ — наиболее распространённый символ, рекомендован стандартом ISO 31-11. Предложен Арендом Гейтингом в 1930 году.
- & — амперсанд, исторически возник как лигатура латинского союза «et».
- · или ⋅ — точка, использовалась Джорджем Булем и другими пионерами символической логики.
Конъюнкция высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.
Дизъюнкция (логическое сложение, ИЛИ)
- ∨ — основной символ в математической логике.
- + — иногда используется как альтернатива.
Дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из высказываний (или оба) истинно. Она ложна только тогда, когда оба высказывания ложны.
Отрицание (НЕ)
- ¬ — основной символ.
- ~ или ˜ — тильда.
Отрицание истинно тогда и только тогда, когда исходное высказывание ложно.
Импликация (следование, ЕСЛИ...ТО)
- → — стрелка вправо.
- ⇒ — двойная стрелка вправо.
- ⊃ — символ надмножества.
Импликация ложна только в одном случае: когда первое высказывание истинно, а второе ложно. Пример: x = 2 ⇒ x² = 4 (истинно), но x² = 4 ⇒ x = 2 (ложно в общем случае, так как x может быть равен -2).
Эквивалентность (тогда и только тогда)
- ⇔ — двойная стрелка влево-вправо.
- ≡ — тождественное равенство.
- ↔ — одинарная двойная стрелка.
Эквивалентность истинна только тогда, когда оба высказывания имеют одинаковые значения истинности (оба истинны или оба ложны).
Таблица соответствия символов
Сводные данные по математическим обозначениям, их аналогам в программировании, кодам Unicode и командам LaTeX.
| Операция | Математика | Программирование | Unicode | LaTeX |
|---|---|---|---|---|
| Конъюнкция | ∧, &, · | &&, and | U+2227, U+0026 | \wedge, \land |
| Дизъюнкция | ∨, + | \ | \ | , or |
| Отрицание | ¬, ~ | !, not | U+00AC | \lnot, \neg |
| Импликация | →, ⇒ | (отсутствует) | U+2192, U+21D2 | \to, \Rightarrow |
| Эквивалентность | ⇔, ≡, ↔ | ==, === | U+21D4, U+2261 | \Leftrightarrow, \equiv |
Приоритет выполнения операций
Обычно порядок выполнения логических операций следующий (от высшего к низшему приоритету):
- Отрицание (¬)
- Конъюнкция (∧)
- Дизъюнкция (∨)
- Импликация (→)
- Эквивалентность (⇔)
Дополнительные обозначения
Помимо базовых математических символов, в различных средах и языках используются специфические варианты записи:
- min(a,b) — при естественном упорядочении значений истинности (когда 0 < 1).
- AND — зарезервированное слово в языках Pascal, Ada, Fortran.
- .AND. — специфичный оператор в языке Fortran IV.
- && и || — в языках программирования C и C++.
- ! — восклицательный знак для отрицания в языках программирования.
- not — ключевое слово в Python.
- == или === — операторы сравнения для эквивалентности в языках программирования.