Тесты по математике на тему «Функции»: определение, свойства и тригонометрия с ответами

Иван Корнев·7 октября 2026·⏱3 мин

Готовые тесты по математике на тему «Функции» с ответами помогут быстро проверить знания определений, свойств четности и тригонометрических функций. Материал полностью соответствует требованиям ФГОС и спецификациям ФИПИ для ОГЭ и ЕГЭ 2026 года. Выделите 15–20 минут на решение, затем сверьте ответы. Если допущено более 2 ошибок в одном блоке, рекомендуется повторить теорию именно по этому свойству.

Оглавление

Основные определения и свойства функций

Для успешного решения заданий необходимо твердо знать базовые формулировки:

  • Определение функции: Числовой функцией с областью определения $D$ называется правило, сопоставляющее каждому числу $x \in D$ единственное число $y$.
  • Четная функция: Функцию $y = f(x)$, $x \in X$, называют четной, если для любого значения $x$ из множества $X$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
  • Нечетная функция: Функцию $y = f(x)$, $x \in X$, называют нечетной, если для любого значения $x$ из множества $X$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
  • Необходимое условие четности/нечетности: Область определения функции должна быть симметричным множеством (если $x$ принадлежит области, то и $-x$ принадлежит ей). Если область определения несимметрична относительно нуля, функция не обладает свойством четности.
  • Тригонометрические функции (четность): Функция $y = \cos x$ является четной, функции $y = \sin x$, $y = \text{tg} x$, $y = \text{ctg} x$ являются нечетными.
  • Область определения тангенса: Функция $y = \text{tg} x$ определена при всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Важно различать область определения и область значений: область определения — это допустимые значения $x$ (аргумента), область значений — это все возможные значения $y$ (функции). Например, для $y = x^2$ область определения: $(-\infty; +\infty)$, а область значений: $[0; +\infty)$.

Тестовые задания с ответами

Формат заданий с кратким числовым ответом или выбором свойства является стандартом для российских экзаменов (ОГЭ: задания № 9, 12; ЕГЭ профиль: задания № 4, 11).

Задание 1 (Область определения)
Найдите область определения функции $y = \sqrt{x - 5}$.
Ответ: $[5; +\infty)$ или $x \ge 5$.

Задание 2 (Тригонометрия)
Чему равно значение выражения $\sin^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2(\frac{\pi}{4})$?
Ответ: 1 (основное тригонометрическое тождество).

Задание 3 (Свойства четности)
Определите четность функции $y = x^3$.
Ответ: Нечетная (так как $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$, и область определения симметрична).

Задание 4 (Ловушка с областью определения)
Является ли функция $y = \sqrt{x}$ четной или нечетной?
Ответ: Ни четной, ни нечетной, так как ее область определения $[0; +\infty)$ несимметрична относительно нуля.

Частые ошибки

Внимание! Типичная ошибка при проверке на четность: ученики проверяют равенство $f(-x) = \pm f(x)$, но забывают предварительно убедиться, что область определения симметрична. Если область определения несимметрична (например, $[0; +\infty)$), функция автоматически не является ни четной, ни нечетной, и дальнейшая проверка алгебраических преобразований не имеет смысла.

FAQ

Как эффективно использовать этот тест для подготовки к экзаменам?
Выделите 15–20 минут на решение заданий без подсказок, затем сверьте ответы. Если допущено более 2 ошибок в одном блоке, рекомендуется повторить теорию именно по этому свойству (например, освежить в памяти тригонометрический круг для заданий с тригонометрией).

Соответствуют ли эти задания формату ОГЭ и ЕГЭ 2026 года?
Да, материал полностью соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и спецификациям контрольных измерительных материалов (КИМ) ФИПИ по математике, актуальным на 2026 год. Формат заданий с кратким числовым ответом или выбором свойства является стандартом.