Как найти время совместной работы насосов

Иван Корнев·11 июля 2026·⏱6 мин

Чтобы решить задачу, где несколько насосов наполняют бассейн, нужно сложить их производительности (скорости работы), а не время. Время совместной работы всегда меньше времени работы самого быстрого участника в одиночку. Ключевая формула: общая производительность равна сумме индивидуальных ($P_{общ} = P_1 + P_2$), а итоговое время находится как $T = \frac{1}{P_{общ}}$, если весь объем работы принят за 1.

В школьной программе такие задачи встречаются начиная с 5–6 классов и регулярно появляются в вариантах ВПР, ОГЭ и базового ЕГЭ. Главная сложность для учеников — интуитивное желание сложить часы, что приводит к неверному ответу. Ниже разберем универсальный метод решения, который работает для любого количества труб и насосов.

Оглавление

  1. Базовые понятия: объем, время, производительность
  2. Пошаговый алгоритм решения
  3. Разбор типовых задач
  4. Задачи со сливом (откачкой)
  5. Готовые формулы для экзамена
  6. Частые ошибки
  7. FAQ

Базовые понятия {#bazovye-ponyatiya}

Любая задача на работу сводится к трем величинам. Понимание связи между ними — 90% успеха.

  1. Работа ($A$). В задачах про бассейны конкретный объем в литрах или кубометрах обычно не важен. Весь бассейн условно принимается за 1.
  2. Время ($t$). Период, за который выполняется работа (часы, минуты).
  3. Производительность ($p$). Часть работы, выполняемая за единицу времени.

Формула связи: $$A = p \times t$$

Отсюда выводится главное правило: если время известно, производительность находится как обратная величина: $$p = \frac{1}{t}$$

Например, если насос наполняет бассейн за 5 часов, он заполняет $\frac{1}{5}$ бассейна за один час.

Пошаговый алгоритм решения {#algoritm-resheniya}

Чтобы не запутаться в условиях, используйте табличный метод. Он делает решение прозрачным и защищает от арифметических ошибок.

Шаг 1. Составьте таблицу

Выделите строку для каждого участника и столбцы для основных величин.

ИсполнительПроизводительность ($p$)Время ($t$)Работа ($A$)
Насос 1$\frac{1}{t_1}$$t_1$1
Насос 2$\frac{1}{t_2}$$t_2$1
Вместе$p1 + p2$$T$1

Шаг 2. Выразите производительность

Для каждого известного времени запишите дробь $\frac{1}{t}$.

Шаг 3. Сложите скорости

При совместной работе производительности складываются: $$p_{общ} = p_1 + p_2 + ... + p_n$$

Шаг 4. Найдите итоговое время

Так как объем работы равен 1, время совместной работы: $$T = \frac{1}{p_{общ}}$$

Разбор типовых задач {#razbor-primerov}

Рассмотрим три уровня сложности: от базового до продвинутого.

Пример 1: Два насоса (Базовый уровень)

Условие: Первый насос наполняет бассейн за 4 часа, второй — за 12 часов. За сколько часов они наполнят бассейн вместе?

Решение:

  1. $p_1 = \frac{1}{4}$, $p_2 = \frac{1}{12}$.
  2. Общая производительность: $$p_{общ} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$$ Приводим к общему знаменателю (12): $$\frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$
  3. Итоговое время: $$T = \frac{1}{1/3} = 3 \text{ часа}$$

Ответ: 3 часа.

Пример 2: Поиск неизвестного времени (Обратная задача)

Условие: Два насоса вместе наполняют бассейн за 12 часов. Первый насос справляется с этой задачей за 48 часов. За сколько часов наполнит бассейн второй насос, работая отдельно?

Решение:

  1. Общая производительность пары: $p_{общ} = \frac{1}{12}$.
  2. Производительность первого: $p_1 = \frac{1}{48}$.
  3. Производительность второго находим вычитанием: $$p_2 = p_{общ} - p_1 = \frac{1}{12} - \frac{1}{48}$$ Общий знаменатель — 48: $$\frac{4}{48} - \frac{1}{48} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$$
  4. Время работы второго насоса: $$t_2 = \frac{1}{1/16} = 16 \text{ часов}$$

Ответ: 16 часов.

Пример 3: Три насоса (Продвинутый уровень)

Условие: Первая и вторая трубы наполняют бассейн за 9 минут, вторая и третья — за 14 минут, первая и третья — за 18 минут. За сколько минут наполнят бассейн все три трубы вместе?

Решение через систему уравнений: Пусть $x, y, z$ — производительности труб.

  1. Составим систему: $$\begin{cases} x + y = \frac{1}{9} \ y + z = \frac{1}{14} \ x + z = \frac{1}{18} \end{cases}$$
  2. Сложим все три уравнения левую часть с левой, правую с правой: $$2(x + y + z) = \frac{1}{9} + \frac{1}{14} + \frac{1}{18}$$
  3. Найдем сумму дробей. НОК для 9, 14 и 18 равен 126: $$\frac{14}{126} + \frac{9}{126} + \frac{7}{126} = \frac{30}{126}$$
  4. Тогда $2(x + y + z) = \frac{30}{126}$. Общая производительность трех труб: $$x + y + z = \frac{15}{126} = \frac{5}{42}$$
  5. Время заполнения: $$T = \frac{1}{5/42} = \frac{42}{5} = 8,4 \text{ минуты}$$

Ответ: 8,4 минуты (или 8 минут 24 секунды).

Задачи со сливом (откачкой) {#zadachi-so-slivom}

Иногда в условии присутствует труба, которая не наполняет, а опустошает бассейн. Математическая модель остается той же, но производительность такой трубы берется со знаком «минус».

Важно: Если скорость откачки больше скорости наполнения, бассейн никогда не наполнится. В таких задачах ответом может быть «невозможно» или отрицательное время, что указывает на физическую невозможность процесса.

Пример: Труба наполняет бассейн за 9 часов, а сливная труба опустошает его за 12 часов. За сколько часов наполнится бассейн при одновременной работе обеих труб?

Решение:

  1. $p_{нал} = \frac{1}{9}$
  2. $p_{слив} = \frac{1}{12}$
  3. Результирующая производительность: $$p_{рез} = \frac{1}{9} - \frac{1}{12} = \frac{4}{36} - \frac{3}{36} = \frac{1}{36}$$
  4. Время: $$T = \frac{1}{1/36} = 36 \text{ часов}$$

Как видим, наличие сливной трубы значительно увеличило время наполнения (с 9 до 36 часов).

Готовые формулы для экзамена {#gotovye-formuly}

Для экономии времени на контрольных можно использовать готовые выражения, выведенные из общего алгоритма.

Таблица быстрых формул

СитуацияФормула общего времени ($T$)
Два исполнителя ($t1$ и $t2$)$T = \frac{t1 \cdot t2}{t1 + t2}$
Три исполнителя ($t1, t2, t_3$)$T = \frac{1}{\frac{1}{t1} + \frac{1}{t2} + \frac{1}{t_3}}$
Наполнение и слив ($t{нал}, t{слив}$)$T = \frac{1}{\frac{1}{t{нал}} - \frac{1}{t{слив}}}$

Лайфхак с НОК: Если числа в задаче небольшие, попробуйте метод подбора. Найдите наименьшее общее кратное (НОК) всех указанных времен. Представьте, что прошло именно столько часов. Посчитайте, сколько целых бассейнов наполнил бы каждый насос за это время, сложите их и разделите исходное время (НОК) на полученное число бассейнов. Это часто быстрее, чем работа с дробями.

Частые ошибки {#chastye-oshibki}

  1. Сложение времени. Самая грубая ошибка: $4 + 12 = 16$. Помните: помощники ускоряют процесс, поэтому итоговое время должно быть меньше минимального из известных.
  2. Ошибка в знаке при сливе. При наличии откачивающей трубы ее производительность нужно вычитать, а не прибавлять.
  3. Арифметика с дробями. Забывание привести дроби к общему знаменателю перед сложением или вычитанием. Всегда проверяйте промежуточные вычисления.
  4. Путаница в обратной задаче. Если дано общее время и время одного участника, нельзя просто вычесть времена ($12 - 48$). Нужно работать только с производительностями ($\frac{1}{12} - \frac{1}{48}$).

FAQ {#faq}

Можно ли решать такие задачи без дробей? Да, используя метод НОК (лайфхак из раздела формул). Однако метод производительностей более универсален и подходит для любых чисел, включая десятичные дроби.

Что делать, если в задаче указаны разные единицы времени (часы и минуты)? Сначала приведите все данные к одной единице измерения. Например, переведите часы в минуты или минуты в часы, и только потом составляйте уравнения.

Всегда ли объем работы равен 1? В большинстве школьных задач да. Если в условии указан конкретный объем (например, 1000 литров), вы можете принять $A=1000$, но проще все равно принять $A=1$, так как конкретные литры сократятся в процессе решения.