Как решать задачи на идеальный тепловой двигатель

Чтобы найти температуру холодильника или КПД идеального теплового двигателя, необходимо использовать формулу Карно $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$, предварительно переведя все температуры в абсолютную шкалу Кельвина ($T = t + 273$). Ключ к правильному решению — понимание связи между температурами нагревателя ($T_1$) и холодильника ($T_2$), а также количествами переданной теплоты ($Q_1$ и $Q_2$). В этой статье разберем алгоритмы вычислений и типичные ловушки, которые встречаются в экзаменационных заданиях.

Физическая модель и основные формулы

Идеальная тепловая машина (машина Карно) работает по обратимому циклу между двумя тепловыми резервуарами. Ее эффективность ограничена только температурами этих резервуаров.

Рабочее тело получает тепло $Q_1$ от нагревателя с температурой $T_1$, совершает полезную работу $A$ и отдает остаток тепла $Q_2$ холодильнику с температурой $T_2$.

Для решения любых задач достаточно трех взаимосвязанных уравнений:

1. КПД через температуры (формула Карно): $$ \eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1} $$

2. КПД через теплоты: $$ \eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} $$

3. Соотношение для цикла Карно: $$ \frac{Q_1}{T_1} = \frac{Q_2}{T_2} $$

Алгоритм поиска температуры холодильника

Если в задаче требуется найти $T_2$, действуйте по следующему плану:

Шаг 1. Анализ данных и перевод единиц

Выпишите известные величины. Если температура нагревателя $t_1$ дана в градусах Цельсия, немедленно переведите её в Кельвины: $$ T_1 = t_1 + 273 $$

Шаг 2. Выбор стратегии расчета

В зависимости от того, что еще известно, выберите путь решения:

• Известны КПД ($\eta$) и $T_1$: Выразите $T_2$ из формулы Карно: $$ T_2 = T_1 \cdot (1 - \eta) $$

• Известны $Q_1$, $Q_2$ и $T_1$: Используйте пропорцию температур и теплот: $$ T_2 = T_1 \cdot \frac{Q_2}{Q_1} $$

• Известны только $Q_1$ и $Q_2$: Сначала найдите КПД через теплоты ($\eta = 1 - Q_2/Q_1$). Затем, если известна хотя бы одна температура, найдите вторую. Если температур нет вовсе, задачу на поиск конкретной температуры решить нельзя без дополнительных данных.

Шаг 3. Проверка результата

Убедитесь, что $T_2 < T_1$. Температура холодильника всегда ниже температуры нагревателя. Также проверьте, чтобы результат не был отрицательным (в шкале Кельвина).

Разбор типовых задач

Рассмотрим три классических сценария, встречающихся в контрольных работах и на ЕГЭ.

Задача 1. Прямое вычисление по КПД

Условие: КПД идеальной тепловой машины равен 30%. Температура нагревателя составляет 400 К. Найдите температуру холодильника.

Решение:

1. Дано: $\eta = 0.3$, $T_1 = 400$ К.
2. Используем формулу: $T_2 = T_1 \cdot (1 - \eta)$.
3. Подставляем значения: $$ T_2 = 400 \cdot (1 - 0.3) = 400 \cdot 0.7 = 280 \text{ К} $$

Ответ: 280 К.

---

Задача 2. Перевод единиц и работа с теплотами

Условие: Машина Карно получает от нагревателя 5 кДж теплоты и отдает холодильнику 3 кДж. Температура нагревателя равна 227 °C. Определите температуру холодильника.

Решение:

1. Переводим температуру нагревателя в Кельвины: $$ T_1 = 227 + 273 = 500 \text{ К} $$
2. Так как известны $Q_1$ и $Q_2$, используем соотношение: $$ \frac{T_2}{T_1} = \frac{Q_2}{Q_1} \Rightarrow T_2 = T_1 \cdot \frac{Q_2}{Q_1} $$
3. Подставляем числа (единицы измерения теплоты сокращаются, можно оставить кДж): $$ T_2 = 500 \cdot \frac{3}{5} = 500 \cdot 0.6 = 300 \text{ К} $$
4. Если требуется ответ в °C: $$ t_2 = 300 - 273 = 27 \text{ °C} $$

Ответ: 300 К (или 27 °C).

---

Задача 3. Качественный анализ

Условие: Температуру нагревателя увеличили, а температуру холодильника оставили прежней. Как изменится КПД двигателя?

Решение:

1. Смотрим на формулу: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
2. $T_2$ — неизменно.
3. $T_1$ — увеличилось (стоит в знаменателе дроби).
4. Значит, дробь $\frac{T_2}{T_1}$ уменьшилась.
5. Так как мы вычитаем меньшее число из единицы, значение $\eta$ возрастает.

Ответ: КПД увеличится.

Шпаргалка по величинам

Частые ошибки при решении

1. Подстановка градусов Цельсия. Это самая грубая ошибка. Формула Карно выведена для абсолютной термодинамической температуры. $100$ °C и $200$ °C не означают, что второе тело в два раза «горячее» в термодинамическом смысле.
2. Путаница с $Q_1$ и $Q_2$. Помните: $Q_1$ — это то, что двигатель получает (затраты), а $Q_2$ — то, что он теряет (отдает в холодильник). Работа равна разнице: $A = Q_1 - Q_2$.
3. Неверный перевод процентов. Если КПД дан как 25%, в формулу нужно подставлять $0.25$, а не $25$.
4. Игнорирование условия «идеальный». В реальных двигателях есть потери на трение и неполное сгорание. В задачах на цикл Карно эти потери отсутствуют, и КПД определяется только температурами.

Вопросы и ответы (FAQ)

Почему КПД идеального двигателя не может быть 100%? Для $\eta = 1$ (100%) необходимо, чтобы $T_2 = 0$ К (абсолютный ноль) или $T_1 \to \infty$. Достижение абсолютного нуля невозможно согласно третьему началу термодинамики, а бесконечная температура недостижима физически. Поэтому часть энергии всегда рассеивается в холодильнике.

Что делать, если в задаче дана мощность? Мощность $N$ связана с работой и временем: $A = N \cdot t$. Если дана средняя мощность передачи тепла холодильнику $N_2$, то количество отданной теплоты за время $t$ равно $Q_2 = N_2 \cdot t$. Далее используйте стандартные формулы цикла.

Может ли температура холодильника быть отрицательной? В шкале Цельсия — да (например, -20 °C). В шкале Кельвина — нет, минимальное значение 0 К. При расчетах всегда сначала переводите отрицательные градусы Цельсия в положительные Кельвины (например, -20 °C = 253 К), проводите вычисления, и только потом, если нужно, переводите результат обратно в °C.