Что такое целые числа: определение, примеры и свойства
Целые числа — это множество, включающее натуральные числа, ноль и отрицательные числа, противоположные натуральным. Они обозначаются буквой Z и не имеют дробной или десятичной части.
Определение и обозначение
Целые числа — это расширение множества натуральных чисел, получаемое путём добавления к ним нуля и отрицательных чисел, противоположных натуральным. Множество целых чисел обозначается заглавной латинской буквой Z (от немецкого Zahlen — «числа»).
Целые числа включают в себя:
- Все натуральные числа (1, 2, 3, ...)
- Ноль (0)
- Все отрицательные числа (-1, -2, -3, ...)
Важное уточнение: в целых числах не бывает дробных частей или десятичных знаков.
Примеры целых и нецелых чисел
К целым числам относятся:
- Положительные: 1, 5, 56, 1000, 2026
- Отрицательные: -5, -7, -2048, -100
- Ноль: 0
Не являются целыми числами:
- Дробные числа: 1/2, 3/4, 0.75
- Числа с десятичной частью: 9.75, 3.14, 0.5
- Иррациональные числа: √2, π
Основные свойства целых чисел
Множество целых чисел обладает следующими основными свойствами:
- Свойство замкнутости: Сумма, разность и произведение двух целых чисел всегда является целым числом.
- Пример: 2 + 6 = 8 (целое), 2 × 6 = 12 (целое).
- Коммутативность: От перемены мест слагаемых или множителей результат не меняется:
- a + b = b + a
- a × b = b × a
- Ассоциативность: Группировка чисел не влияет на результат:
- (a + b) + c = a + (b + c)
- (a × b) × c = a × (b × c)
- Дистрибутивность: Умножение можно распределить относительно сложения:
- a × (b + c) = a × b + a × c
- Наличие тождественных элементов:
- Для сложения: 0 (a + 0 = a)
- Для умножения: 1 (a × 1 = a)
Целые числа можно изображать на числовой прямой — графическом представлении всех действительных чисел. Они образуют бесконечное множество, ограниченное сверху и снизу только теоретически.