Как решать задачи на работу с переходом рабочих между бригадами
Чтобы решить задачу про две бригады одинаковой квалификации, нужно разделить процесс работы на этапы (до и после перехода сотрудников), выразить объем выполненной работы через производительность одного человека и составить уравнение равенства объемов заказов. Ключевой момент: индивидуальная производительность всех рабочих одинакова, поэтому она сокращается в итоговом уравнении.
Суть метода: от текста к уравнению
В таких задачах обычно даны два одинаковых заказа, которые выполняют две группы людей. В какой-то момент часть работников переходит из одной группы в другую.
Главное правило: если квалификация одинаковая, то $P$ (производительность) одного рабочего постоянна. Объем работы ($A$) рассчитывается по формуле: $$ A = N \cdot P \cdot T $$ где:
- $N$ — количество рабочих,
- $P$ — производительность одного рабочего за единицу времени,
- $T$ — время работы.
Так как заказы одинаковые, мы приравниваем объемы работы, выполненные первой и второй бригадой за все время.
Лайфхак: Переменную $P$ (производительность одного рабочего) можно не искать численно. Она присутствует в обеих частях уравнения и всегда сокращается.
Пошаговый алгоритм решения
Не пытайтесь держать все цифры в голове. Используйте строгую структуру:
- Выделите этапы. Обычно их два: «до перехода» и «после перехода».
- Зафиксируйте состав бригад. Сколько человек было в каждой бригаде на каждом этапе?
- Введите переменные.
- $x$ — производительность одного рабочего (можно опустить, если сразу сокращать).
- $t$ — неизвестное время (чаще всего время второго этапа или общее время).
- Составьте выражения для объема работы каждой бригады на каждом этапе.
- Приравняйте суммы. Объем работы 1-й бригады = Объем работы 2-й бригады (так как заказы одинаковые и выполнены полностью).
- Решите линейное уравнение.
Разбор типового примера
Условие: Две бригады рабочих одинаковой квалификации начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 13 человек, во второй — 21. Через 4 дня 5 рабочих перешли из второй бригады в первую. Оба заказа были закончены одновременно. Найдите общее время выполнения заказов.
Шаг 1. Анализ данных
- Этап 1 (первые 4 дня):
- Бригада 1: 13 чел.
- Бригада 2: 21 чел.
- Переход: 5 человек из Бригады 2 $\rightarrow$ в Бригаду 1.
- Этап 2 (остальное время):
- Бригада 1: $13 + 5 = 18$ чел.
- Бригада 2: $21 - 5 = 16$ чел.
- Неизвестное: Пусть $t$ — количество дней работы на втором этапе.
- Цель: Найти общее время $T_{total} = 4 + t$.
Шаг 2. Составление уравнения
Запишем объем работы для каждой бригады. Пусть $p$ — производительность одного рабочего.
- Работа 1-й бригады: $(13 \cdot p \cdot 4) + (18 \cdot p \cdot t)$
- Работа 2-й бригады: $(21 \cdot p \cdot 4) + (16 \cdot p \cdot t)$
Так как заказы одинаковые, приравниваем: $$ 13 \cdot 4 \cdot p + 18 \cdot t \cdot p = 21 \cdot 4 \cdot p + 16 \cdot t \cdot p $$
Шаг 3. Решение
Сокращаем $p$ (так как $p \neq 0$): $$ 52 + 18t = 84 + 16t $$
Переносим слагаемые с $t$ влево, числа вправо: $$ 18t - 16t = 84 - 52 $$ $$ 2t = 32 $$ $$ t = 16 \text{ дней} $$
Это время работы после перехода.
Шаг 4. Финальный ответ
Общее время: $$ 4 + 16 = 20 \text{ дней} $$
Ответ: 20.
Шаблон-таблица для быстрой записи
Чтобы избежать ошибок в условиях экзамена, заполняйте такую таблицу перед составлением уравнения.
| Параметр | Этап 1 (до перехода) | Этап 2 (после перехода) |
|---|---|---|
| Время | $t_1$ (известно) | $t2$ (неизвестно или выражено через $t1$) |
| Бригада 1 (люди) | $N_1$ | $N_1 + k$ |
| Бригада 2 (люди) | $N_2$ | $N_2 - k$ |
| Работа Бригады 1 | $N1 \cdot t1$ | $(N1 + k) \cdot t2$ |
| Работа Бригады 2 | $N2 \cdot t1$ | $(N2 - k) \cdot t2$ |
Где $k$ — количество перешедших рабочих.
Уравнение всегда имеет вид: $$ N_1 t_1 + (N_1 + k)t_2 = N_2 t_1 + (N_2 - k)t_2 $$
Если в задаче спрашивают «на сколько дней одна бригада работала дольше», внимательно читайте, о каком отрезке времени идет речь: об общем или только о втором этапе.
Частые ошибки
- Путаница со временем. Ученики часто находят $t$ (время второго этапа) и забывают прибавить дни первого этапа, если вопрос звучит как «сколько дней выполнялся заказ».
- Неверный состав бригад. Забывают добавить/вычесть перешедших рабочих. Например, во второй бригаде после ухода 5 человек из 21 остается 16, а не 21 или 26.
- Лишние действия. Попытка найти конкретную производительность $p$ или объем работы в «попугаях». Это невозможно без дополнительных данных и не требуется для ответа.
- Ошибка в знаках. При переносе слагаемых в уравнении меняют знак только у чисел, но забывают проверить логику: если вторая бригада была больше, она делала больше работы в первый день, значит, во второй день первая бригада (ставшая больше) должна «догнать» отставание.
FAQ
В: Что делать, если заказы не одинаковые? О: В условии будет сказано, например, «второй заказ в 1.5 раза больше». Тогда уравнение будет выглядеть так: $Work_1 = 1.5 \cdot Work_2$. Коэффициент умножается на ту часть, которая меньше или больше, согласно условию.
В: Можно ли решать такие задачи без уравнений? О: Да, через разницу в производительности.
- Найдем, какая бригада и насколько отстала за первый период.
- Найдем новую разницу в скорости бригад после перехода.
- Разделим отставание на новую разницу скоростей, чтобы узнать время догоняния. Для примера выше: За 4 дня 2-я бригада сделала на $(21-13)\cdot4 = 32$ «человеко-дня» больше. После перехода 1-я бригада (18 чел) работает быстрее 2-й (16 чел) на $18-16=2$ чел/день. Чтобы сократить отставание в 32 ед. со скоростью 2 ед./день, нужно $32 / 2 = 16$ дней. $16 + 4 = 20$ дней. Этот способ быстрее, но требует четкого понимания физического смысла.
В: Почему сокращается производительность одного рабочего? О: Потому что она является общим множителем в левой и правой части равенства объемов работы. Если бы квалификация была разной, задачу нельзя было бы решить без знания соотношения их производительностей.