Упрощение алгебраического выражения со степенью

Иван Корнев·04.05.2026·⏱3 мин

Упрощенный вид выражения $2^3 - 2x^2 + 5 - 4x$ равен $-2x^2 - 4x + 13$. Для получения этого результата необходимо вычислить числовую степень ($2^3=8$), сложить свободные члены ($8+5=13$) и расположить одночлены по убыванию степеней переменной $x$.

Ниже приведен подробный алгоритм действий, который поможет избежать ошибок при работе с подобными многочленами.

Пошаговый алгоритм упрощения

Процесс приведения выражения к стандартному виду состоит из трех логических этапов: арифметических вычислений, группировки подобных слагаемых и сортировки.

Шаг 1. Вычисление констант

В исходном выражении присутствует степень числа: $2^3$. Это числовое значение, не зависящее от переменной $x$. Его нужно вычислить в первую очередь.

$$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$$

Подставляем полученное значение обратно в выражение: $$8 - 2x^2 + 5 - 4x$$

Шаг 2. Приведение подобных членов

Подобные члены — это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть (или не имеют её вовсе, являясь свободными членами). В нашем случае есть две группы:

  1. Свободные члены (константы): $8$ и $5$.
  2. Члены с переменной: $-2x^2$ и $-4x$. Они не являются подобными друг другу, так как степени переменной разные ($x^2$ и $x^1$).

Складываем только константы: $$8 + 5 = 13$$

Теперь выражение принимает вид: $$-2x^2 - 4x + 13$$

Правило знаков: При переносе или группировке членов сохраняйте знак, стоящий перед числом. Например, $-4x$ остается отрицательным, если перед ним нет других операций изменения знака.

Шаг 3. Запись в стандартном виде

Стандартным видом многочлена считается запись, где слагаемые расположены в порядке убывания степеней переменной.

  1. Старшая степень: $-2x^2$ (степень 2).
  2. Следующая степень: $-4x$ (степень 1).
  3. Свободный член: $+13$ (степень 0).

Итоговый результат: $$-2x^2 - 4x + 13$$

Можно ли разложить на множители?

Часто после упрощения требуется разложить многочлен на множители. Проверим, возможно ли это для $-2x^2 - 4x + 13$.

  1. Вынесение общего множителя: Коэффициенты $-2$, $-4$ и $13$ не имеют общего делителя, отличного от 1. Вынести что-либо за скобки нельзя.
  2. Дискриминант: Проверим, имеет ли квадратный трехчлен целые корни. $$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 13 = 16 + 104 = 120$$ Так как $\sqrt{120}$ не является целым числом ($\sqrt{120} = 2\sqrt{30}$), разложение на рациональные множители невозможно.

Таким образом, форма $-2x^2 - 4x + 13$ является наиболее простой и окончательной.

Частые ошибки при упрощении

При работе с подобными выражениями ученики часто допускают следующие ошибки:

  • Ошибка в вычислении степени: Путаница между $2^3$ ($8$) и $3^2$ ($9$), или умножение основания на показатель ($2 \times 3 = 6$). Помните: степень — это многократное умножение основания само на себя.
  • Потеря знака: При перегруппировке членов забывают поменять знак перед одночленом. Например, $-4x$ могут ошибочно записать как $+4x$.
  • Неверное определение подобных членов: Попытка сложить $-2x^2$ и $-4x$. Этого делать нельзя, так как $x^2$ и $x$ — это разные степени.

Важно: Нельзя складывать коэффициенты при разных степенях переменной. $x^2 + x \neq 2x^2$ и $x^2 + x \neq x^3$.

FAQ

В каком порядке записывать члены многочлена? Принято использовать стандартный вид: по убыванию степеней переменной (от старшей к младшей). Это облегчает дальнейшие действия, такие как деление столбиком или поиск корней.

Что делать, если перед выражением стоит минус? Если бы выражение было заключено в скобки со знаком минус, например $-(2^3 - 2x^2)$, то при раскрытии скобок все знаки внутри изменились бы на противоположные. В данном примере скобок нет, поэтому знаки остаются исходными.

Является ли ответ $13 - 4x - 2x^2$ правильным? Математически — да, значение выражения не меняется от перестановки слагаемых. Однако с точки зрения академических требований и удобства чтения, предпочтительнее записывать ответ в стандартном виде: $-2x^2 - 4x + 13$.