Пошаговое решение системы линейных уравнений

Ответ на задачу: решением системы уравнений $4x + 2y = 2$ и $2x - y = 5$ является пара чисел $x = 1.5$ (или $\frac{3}{2}$) и $y = -2$. Эти значения удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Ниже приведен подробный разбор двух основных способов получения этого результата: метода подстановки и метода алгебраического сложения.

Подготовка к решению

Исходная система выглядит так:

$$ \begin{cases} 4x + 2y = 2 \quad (1) \ 2x - y = 5 \quad ;; (2) \end{cases} $$

Перед началом вычислений можно упростить первое уравнение, разделив все его члены на 2. Это сделает числа меньше и снизит риск арифметических ошибок:

$$2x + y = 1 \quad (1')$$

Теперь работаем с упрощенной системой: $$ \begin{cases} 2x + y = 1 \ 2x - y = 5 \end{cases} $$

Способ 1: Метод алгебраического сложения

Этот метод наиболее эффективен, если коэффициенты при одной из переменных противоположны по знаку или равны. В нашей упрощенной системе коэффициенты при $y$ равны $1$ и $-1$, что идеально подходит для сложения.

1. Сложим уравнения (1') и (2): $$(2x + y) + (2x - y) = 1 + 5$$

2. Приведем подобные слагаемые: Переменная $y$ исчезает ($y - y = 0$): $$4x = 6$$

3. Найдем $x$: $$x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$$

4. Подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем уравнение (2), так как оно кажется проще: $$2(1.5) - y = 5$$ $$3 - y = 5$$ $$-y = 5 - 3$$ $$-y = 2 \implies y = -2$$

Способ 2: Метод подстановки

Если сложение неудобно, можно выразить одну переменную через другую. Вернемся к исходному виду или используем упрощенный. Выразим $y$ из уравнения (2):

1. Выражаем $y$ из второго уравнения: $$2x - y = 5 \implies y = 2x - 5$$

2. Подставляем выражение для $y$ в первое уравнение (исходное $4x + 2y = 2$): $$4x + 2(2x - 5) = 2$$

3. Раскрываем скобки и решаем относительно $x$: $$4x + 4x - 10 = 2$$ $$8x = 12$$ $$x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$$

4. Находим $y$, подставляя $x$ обратно в выражение из шага 1: $$y = 2(1.5) - 5$$ $$y = 3 - 5 = -2$$

Оба метода привели к одинаковому результату: $x = 1.5$, $y = -2$.

Проверка решения

Критически важный этап — подставить найденные значения в оба исходных уравнения, чтобы убедиться в отсутствии ошибок.

Проверка по первому уравнению ($4x + 2y = 2$): $$4(1.5) + 2(-2) = 6 - 4 = 2$$ $2 = 2$ — верно.

Проверка по второму уравнению ($2x - y = 5$): $$2(1.5) - (-2) = 3 + 2 = 5$$ $5 = 5$ — верно.

Сравнение методов

Частые ошибки при решении систем

1. Неверный перенос слагаемых. При переносе $2x$ или $y$ через знак равенства обязательно меняйте знак на противоположный.
2. Ошибки арифметики с дробями. Если ответ получился в виде дроби (как $3/2$), не спешите переводить её в десятичную, если это усложняет дальнейшие вычисления. Лучше работать с обыкновенными дробями до финального этапа.
3. Отсутствие проверки. Решение может выглядеть правдоподобно, но содержать скрытую арифметическую неточность. Подстановка в исходную систему — единственный способ гарантировать правильность.

FAQ

Можно ли решить эту систему графически? Да. Каждое уравнение — это прямая на координатной плоскости. Построив графики $y = -2x + 1$ и $y = 2x - 5$, вы увидите, что они пересекаются в точке с координатами $(1.5; -2)$. Однако алгебраические методы точнее и быстрее.

Что делать, если при сложении уравнений получается неверное равенство (например, $0 = 5$)? Это означает, что система не имеет решений (прямые параллельны). Если же получается тождество вида $0 = 0$, решений бесконечно много (прямые совпадают). В нашем случае мы получили конкретные числа, значит, решение единственно.

Почему лучше упростить уравнение $4x+2y=2$ до $2x+y=1$? Работа с меньшими числами снижает когнитивную нагрузку. Умножение $4x$ на 2 или деление больших чисел увеличивает шанс банальной ошибки в вычислениях.