Исследование функции на монотонность: от теории к практике

Иван Корнев·08.05.2026·⏱6 мин

Функция возрастает на интервале, если её производная положительна ($f'(x) > 0$), и убывает, если производная отрицательна ($f'(x) < 0$). Чтобы найти эти промежутки, нужно вычислить производную, приравнять её к нулю, отметить критические точки на числовой прямой и определить знак выражения на каждом полученном участке.

Этот метод является основным инструментом математического анализа для изучения поведения графиков, поиска экстремумов и решения оптимизационных задач. Ниже приведен полный алгоритм действий и разбор типовых примеров.

Краткая справка:

  • Возрастание: график идет «в гору» слева направо.
  • Убывание: график идет «под гору» слева направо.
  • Стационарные точки: где $f'(x) = 0$ (касательная горизонтальна).

Геометический и алгебраический смысл монотонности

Прежде чем переходить к формулам, важно понять связь между графиком и производной.

  1. Геометически: Производная $f'(x)$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке $x$.

    • Если касательная направлена вверх (острый угол с осью $Ox$), то $k > 0$, значит $f'(x) > 0$ — функция растет.
    • Если касательная направлена вниз (тупой угол), то $k < 0$, значит $f'(x) < 0$ — функция падает.

  2. Алгебраически:

    • Функция $f(x)$ называется возрастающей на интервале $(a; b)$, если для любых $x_1, x_2$ из этого интервала, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.
    • Функция $f(x)$ называется убывающей на интервале $(a; b)$, если для любых $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$.

Важное уточнение: Если $f'(x) \ge 0$ на интервале и обращается в ноль лишь в отдельных точках, функция всё равно считается возрастающей (неубывающей). Однако для строгого возрастания обычно требуют $f'(x) > 0$. В школьных задачах чаще всего ищут интервалы строгой монотонности.

Алгоритм нахождения промежутков монотонности

Чтобы не допустить ошибок, следуйте этому пошаговому плану:

  1. Найдите область определения функции (ОДЗ). Исключите точки, где функция не существует (деление на ноль, корень из отрицательного числа и т.д.).
  2. Вычислите первую производную $f'(x)$. Используйте таблицу производных и правила дифференцирования.
  3. Найдите критические точки. Решите уравнение $f'(x) = 0$ и найдите точки, где производная не существует (но сама функция определена).
  4. Отметьте точки на числовой прямой. Эти точки разбивают ОДЗ на интервалы.
  5. Определите знак производной на каждом интервале. Подставьте любое удобное число из интервала в $f'(x)$.
    • Если результат $> 0$, ставим «+» (функция возрастает $\nearrow$).
    • Если результат $< 0$, ставим «–» (функция убывает $\searrow$).
  6. Запишите ответ. Объедините интервалы с одинаковым знаком в множества возрастания или убывания.

Разбор примеров разной сложности

Пример 1: Кубическая парабола

Исследуем функцию $f(x) = x^3 - 3x$.

  1. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$ (многочлен определен везде).
  2. Производная: $f'(x) = (x^3)' - (3x)' = 3x^2 - 3$.
  3. Критические точки: $$3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1, x = -1$$
  4. Интервалы: Точки $-1$ и $1$ делят прямую на три части: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$.
  5. Знаки:
    • Возьмем $x = -2$ (из первого интервала): $f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$ ($+$).
    • Возьмем $x = 0$ (из второго интервала): $f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$ ($-$).
    • Возьмем $x = 2$ (из третьего интервала): $f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$ ($+$).
  6. Ответ:
    • Возрастает на: $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$.
    • Убывает на: $[-1; 1]$.

(Примечание: квадратные скобки используются, так как функция непрерывна в этих точках. В некоторых учебниках требуют круглые скобки для строгой монотонности — уточняйте требования вашего курса).

Пример 2: Функция с двойным корнем

Исследуем $f(x) = x^4 - 4x^3$.

  1. Производная: $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$.
  2. Критические точки: $$4x^3 - 12x^2 = 0 \implies 4x^2(x - 3) = 0$$ Корни: $x = 0$ и $x = 3$.
  3. Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$, $(3; +\infty)$.
  4. Знаки:
    • $x = -1$: $f'(-1) = 4(-1)^2(-1 - 3) = 4 \cdot (-4) = -16 < 0$ ($-$).
    • $x = 1$: $f'(1) = 4(1)^2(1 - 3) = 4 \cdot (-2) = -8 < 0$ ($-$).
    • $x = 4$: $f'(4) = 4(16)(1) = 64 > 0$ ($+$).
  5. Анализ: В точке $x=0$ знак производной не меняется (был минус, остался минус). Это точка перегиба, а не экстремум.
  6. Ответ:
    • Убывает на: $(-\infty; 3]$.
    • Возрастает на: $[3; +\infty)$.

Пример 3: Тригонометрическая функция

Найти промежутки возрастания $f(x) = \sin x$ на отрезке $[0; 2\pi]$.

  1. Производная: $f'(x) = \cos x$.
  2. Условие возрастания: $\cos x > 0$.
  3. Решение неравенства: На единичной окружности косинус положителен в I и IV четвертях. В пределах $[0; 2\pi]$ это интервалы $[0; \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$. (Точки $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ — это где $\cos x = 0$, они являются границами).
  4. Ответ: Функция возрастает на $[0; \frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$.

Таблица стандартных производных для анализа

Для быстрого решения задач держите под рукой эти формулы:

Функция $f(x)$Производная $f'(x)$Примечание для знака
$C$ (константа)$0$Не меняется, нет монотонности
$x^n$$nx^{n-1}$Знак зависит от $x$ и четности $n$
$\sqrt{x}$$\frac{1}{2\sqrt{x}}$Всегда $>0$ (возрастает на всей ОДЗ)
$\ln x$$\frac{1}{x}$$>0$ при $x>0$
$e^x$$e^x$Всегда $>0$ (всегда возрастает)
$\sin x$$\cos x$Знак меняется периодически
$\cos x$$-\sin x$Знак меняется периодически
$\tan x$$\frac{1}{\cos^2 x}$Всегда $>0$ (на каждом промежутке ОДЗ)

Частые ошибки студентов

  1. Игнорирование области определения (ОДЗ).

    • Ошибка: Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ находят производную $-\frac{1}{x^2}$, видят, что она всегда отрицательна, и пишут ответ: «убывает на $(-\infty; +\infty)$».
    • Правильно: Функция не определена в $x=0$. Ответ: убывает на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$. Нельзя объединять эти промежутки, так как в нуле разрыв.

  2. Потеря точек, где производная не существует.

    • Например, у функции $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ производная не существует в нуле, но функция там определена. Ноль обязательно должен быть отмечен на числовой прямой как граничная точка.

  3. Неверное определение знака при кратных корнях.

    • Если корень производной имеет четную кратность (как $x=0$ в примере 2 выше), знак производной при переходе через эту точку не меняется.

Лайфхак для проверки: Если вы нашли интервалы, попробуйте мысленно или на черновике набросать эскиз графика. Если функция сначала росла, потом убывала, график должен иметь «горку» (максимум). Если сначала убывала, потом росла — «ямку» (минимум). Это поможет поймать грубые логические ошибки.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Можно ли определить монотонность без производной? Да, по определению (сравнивая $f(x_1)$ и $f(x_2)$), но для сложных функций это крайне трудоемко. Производная дает быстрый и универсальный инструмент.

Что делать, если производная сложная (дробь, логарифмы)? Приведите производную к виду произведения или частного множителей. Знак дроби $\frac{A}{B}$ совпадает со знаком произведения $A \cdot B$. Используйте метод интервалов для полученного выражения, учитывая нули числителя и знаменателя.

Влияет ли вторая производная на поиск интервалов возрастания? Нет. Вторая производная $f''(x)$ отвечает за выпуклость/вогнутость (направление изгиба графика) и помогает классифицировать экстремумы, но не определяет, растет функция или падает. Для монотонности нужна только первая производная.

Почему в ответе иногда пишут круглые скобки, а иногда квадратные? Если функция непрерывна в точке экстремума, её можно включать в интервал монотонности (квадратные скобки). Если в точке разрыв или функция не определена — только круглые. В большинстве стандартов ЕГЭ и вузовских курсов для непрерывных функций допускаются квадратные скобки.