Подробный разбор задач по алгебре за 8 класс (№640, №840, №948, №976)

В данном материале представлены подробные решения ключевых номеров из учебника алгебры для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.). Эти задания охватывают важные темы курса: дробные рациональные уравнения, свойства арифметического квадратного корня, построение графиков функций и действия со степенями.

Разбор поможет понять логику решения, избежать типичных ошибок при преобразовании выражений и успешно подготовиться к контрольным работам.

Задание №640: Дробные рациональные уравнения

Это задание обычно относится к теме «Дробные рациональные уравнения». Основная цель — научиться сводить дробное уравнение к целому, не забывая про область допустимых значений (ОДЗ).

Алгоритм решения

1. Найти ОДЗ: Определить значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль. Эти значения не могут быть корнями уравнения.
2. Умножить на общий знаменатель: Умножить обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей, чтобы избавиться от дробей.
3. Решить полученное уравнение: Обычно получается линейное или квадратное уравнение.
4. Проверка: Убедиться, что найденные корни входят в ОДЗ.

Пример разбора (типичная структура задачи №640)

Рассмотрим уравнение вида: $$ \frac{x}{x-2} + \frac{4}{x+2} = \frac{8}{x^2-4} $$

Шаг 1. ОДЗ Знаменатели не должны равняться нулю: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ $x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$ $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$ ОДЗ: $x \neq 2, x \neq -2$.

Шаг 2. Общий знаменатель Разложим $x^2 - 4$ на множители: $(x-2)(x+2)$. Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)$. Умножаем всё уравнение на $(x-2)(x+2)$: $$ x(x+2) + 4(x-2) = 8 $$

Шаг 3. Решение целого уравнения Раскрываем скобки: $$ x^2 + 2x + 4x - 8 = 8 $$ $$ x^2 + 6x - 16 = 0 $$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант или теорему Виета: $D = 36 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$ $x_1 = \frac{-6 + 10}{2} = 2$ $x_2 = \frac{-6 - 10}{2} = -8$

Шаг 4. Проверка по ОДЗ

• $x = 2$ — не подходит, так как $x \neq 2$ (обращает знаменатель в ноль).
• $x = -8$ — подходит.

Ответ: $-8$.

Задание №840: Преобразование выражений с квадратными корнями

Задачи этой серии направлены на отработку свойств арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$, $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, вынесение множителя из-под знака корня и внесение под знак корня.

Типовые примеры и решения

Пример А: Вынесение множителя Упростить выражение: $\sqrt{50a^3}$, при $a \ge 0$.

1. Разложим подкоренное выражение на множители, один из которых — полный квадрат: $50a^3 = 25 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot a = (5a)^2 \cdot 2a$
2. Извлекаем корень из квадрата: $\sqrt{(5a)^2 \cdot 2a} = 5a\sqrt{2a}$

Пример Б: Внесение множителя под знак корня Внести $3x$ под знак корня в выражении $3x\sqrt{5}$, при $x \ge 0$.

1. Так как $x \ge 0$, то $3x = \sqrt{(3x)^2} = \sqrt{9x^2}$.
2. Умножаем подкоренные выражения: $\sqrt{9x^2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{45x^2}$

Пример В: Сравнение чисел Сравнить $5\sqrt{3}$ и $3\sqrt{5}$.

1. Внесем множители под корень: $5\sqrt{3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$ $3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$
2. Так как $75 > 45$, то $\sqrt{75} > \sqrt{45}$. Ответ: $5\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$.

Советы по выполнению

• Помните, что $\sqrt{x^2} = |x|$. Если знак $x$ неизвестен, модуль раскрывать нельзя без дополнительных условий.
• При сложении корней ($\sqrt{2} + \sqrt{8}$) сначала упростите каждый корень отдельно ($\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$), а затем приводите подобные слагаемые ($\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$). Складывать подкоренные выражения напрямую ($\sqrt{2+8}$) запрещено.

Задание №948: Графики функций и их свойства

В этом задании часто требуется построить график функции (линейной, квадратичной или обратной пропорциональности) и определить его свойства: область определения, область значений, промежутки возрастания/убывания, знаки функции.

Разбор на примере квадратичной функции

Построить график функции $y = x^2 - 4x + 3$ и найти наименьшее значение.

1. Анализ функции

• Вид функции: парабола.
• Ветви направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен: $1 > 0$).
• Вершина параболы находится в точке $x_0 = -\frac{b}{2a}$. $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_0 = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина: $(2; -1)$.

2. Построение

• Отмечаем вершину $(2; -1)$.
• Находим точки пересечения с осью $OY$ (при $x=0$): $y = 3$. Точка $(0; 3)$.
• Находим точки пересечения с осью $OX$ (при $y=0$): $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета: $x_1=1, x_2=3$. Точки $(1; 0)$ и $(3; 0)$.
• Симметрично вершине строим график.

3. Свойства

• Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $[-1; +\infty)$.
• Наименьшее значение: $-1$ (при $x=2$).
• Функция убывает на $(-\infty; 2]$ и возрастает на $[2; +\infty)$.

Задание №976: Степень с целым показателем

Задания этого номера посвящены свойствам степени: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$, $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$, $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$, а также работе с отрицательными показателями ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$).

Примеры упрощения выражений

Задача 1: Упростить $\frac{5^{-3} \cdot 5^4}{5^{-2}}$

1. Числитель: $5^{-3+4} = 5^1 = 5$.
2. Дробь: $\frac{5^1}{5^{-2}} = 5^{1 - (-2)} = 5^{1+2} = 5^3$.
3. Результат: $125$.

Задача 2: Представить в виде степени $\frac{(a^3)^{-2} \cdot a^5}{a^{-4}}$

1. Возведение в степень: $(a^3)^{-2} = a^{-6}$.
2. Числитель: $a^{-6} \cdot a^5 = a^{-1}$.
3. Деление: $\frac{a^{-1}}{a^{-4}} = a^{-1 - (-4)} = a^{-1+4} = a^3$.

Задача 3: Вычислить $(2 \cdot 10^{-2})^3$

1. Возводим каждый множитель в куб: $2^3 \cdot (10^{-2})^3$.
2. $8 \cdot 10^{-6}$.
3. В стандартном виде: $0.000008$.

Частые ошибки при работе со степенями

• Путаница со знаками при вычитании показателей: $a^5 : a^{-2} = a^{5-(-2)} = a^7$, а не $a^3$.
• Ошибочное применение правила к сумме: $(a+b)^n \neq a^n + b^n$.
• Забывают, что отрицательная степень «переворачивает» дробь: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$.

Сравнение методов решения

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

В: Что делать, если при решении дробного уравнения все корни попали в ОДЗ? О: Это означает, что уравнение не имеет решений. В ответе нужно записать: «корней нет» или символ пустого множества $\emptyset$.

В: Можно ли сокращать дроби перед умножением на общий знаменатель? О: Да, если это упрощает вид уравнения, но делайте это осторожно, чтобы не потерять ограничения. Лучше сначала найти ОДЗ, потом упрощать.

В: Как быстро построить график квадратичной функции? О: Найдите координаты вершины $(x_0; y_0)$, отметьте её. Найдите одну любую точку справа от вершины, отложите симметричную точку слева. Соедините плавной линией.

В: Почему $\sqrt{x^2} = |x|$, а не просто $x$? О: Потому что арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Если $x = -5$, то $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$, что равно $|-5|$. Если бы мы написали просто $x$, получили бы $-5$, что неверно.

Итоги

Разбор заданий №640, №840, №948 и №976 демонстрирует важность внимательности к деталям:

1. В уравнениях главное — ОДЗ.
2. В корнях — свойства модуля.
3. В графиках — точность построения вершины.
4. В степенях — аккуратность со знаками.

Регулярная практика этих типов задач формирует базу для успешного изучения алгебры в 9 классе и подготовки к ОГЭ.