Разбор задания №1088: системы линейных уравнений

В задании №1088 из учебника алгебры для 7 класса (авторы Ю.Н. Макарычев и др.) требуется решить четыре системы линейных уравнений с двумя переменными. Оптимальным способом решения здесь является метод подстановки. Ниже приведены полные ответы и пошаговые алгоритмы для каждого варианта (а, б, в, г), а также разбор типичных ошибок.

Краткие ответы для самопроверки:

• а) $(-4; 3)$
• б) $(-2; 7)$
• в) $(-10; 5)$
• г) $(-11; -4)$

Алгоритм решения методом подстановки

Прежде чем переходить к конкретным примерам, вспомним универсальный план действий, который применим ко всем четырем системам из этого номера:

1. Выбор уравнения: Выберите то уравнение системы, где коэффициент при одной из переменных равен $1$ или $-1$, либо где числа меньше и проще для деления.
2. Выражение переменной: Выразите одну переменную (например, $x$) через другую ($y$).
3. Подстановка: Подставьте полученное выражение вместо этой переменной во второе уравнение системы.
4. Решение линейного уравнения: Решите полученное уравнение с одной переменной.
5. Нахождение второй переменной: Подставьте найденное значение в выражение из шага 2.
6. Запись ответа: Оформите результат как упорядоченную пару $(x; y)$.

Подробное решение вариантов

Вариант а

$$ \begin{cases} 3x + 4y = 0 \ 2x + 3y = 1 \end{cases} $$

Шаг 1. Из первого уравнения выразим $x$: $$3x = -4y \implies x = -\frac{4}{3}y$$

Шаг 2. Подставим $x$ во второе уравнение: $$2 \cdot \left(-\frac{4}{3}y\right) + 3y = 1$$

Шаг 3. Решаем уравнение относительно $y$: $$-\frac{8}{3}y + 3y = 1$$ Приведем к общему знаменателю ($3y = \frac{9}{3}y$): $$-\frac{8}{3}y + \frac{9}{3}y = 1$$ $$\frac{1}{3}y = 1 \implies y = 3$$

Шаг 4. Найдем $x$: $$x = -\frac{4}{3} \cdot 3 = -4$$

Ответ: $(-4; 3)$

---

Вариант б

$$ \begin{cases} 7x + 2y = 0 \ 9x + 4y = 10 \end{cases} $$ (Примечание: во втором уравнении члены переставлены для стандартного вида $Ax+By=C$)

Шаг 1. Из первого уравнения удобно выразить $2y$, так как $4y$ во втором уравнении кратно $2y$: $$2y = -7x$$

Шаг 2. Заметим, что $4y = 2 \cdot (2y)$. Подставим $-7x$ вместо $2y$ во второе уравнение: $$9x + 2 \cdot (-7x) = 10$$

Шаг 3. Решаем относительно $x$: $$9x - 14x = 10$$ $$-5x = 10 \implies x = -2$$

Шаг 4. Найдем $y$, используя выражение $2y = -7x$: $$2y = -7 \cdot (-2)$$ $$2y = 14 \implies y = 7$$

Ответ: $(-2; 7)$

---

Вариант в

$$ \begin{cases} 5x + 6y = -20 \ 2x + 9y = 25 \end{cases} $$

Шаг 1. Выразим $x$ из первого уравнения (делим на 5): $$5x = -20 - 6y \implies x = -4 - 1.2y$$ (Или в обыкновенных дробях: $x = -4 - \frac{6}{5}y$)

Шаг 2. Подставим во второе уравнение: $$2(-4 - 1.2y) + 9y = 25$$

Шаг 3. Раскрываем скобки и решаем: $$-8 - 2.4y + 9y = 25$$ $$6.6y = 25 + 8$$ $$6.6y = 33$$ $$y = \frac{33}{6.6} = 5$$

Шаг 4. Найдем $x$: $$x = -4 - 1.2 \cdot 5 = -4 - 6 = -10$$

Ответ: $(-10; 5)$

---

Вариант г

$$ \begin{cases} 3x + 1 = 8y \ 11y - 3x = -11 \end{cases} $$

Шаг 1. Здесь удобно заметить, что в обоих уравнениях есть член с $3x$. В первом уравнении $3x = 8y - 1$.

Шаг 2. Подставим выражение для $3x$ во второе уравнение. Обратите внимание на знак перед $3x$ во втором уравнении (там стоит $-3x$): $$11y - (8y - 1) = -11$$

Шаг 3. Решаем относительно $y$: $$11y - 8y + 1 = -11$$ $$3y = -11 - 1$$ $$3y = -12 \implies y = -4$$

Шаг 4. Найдем $x$ через $3x = 8y - 1$: $$3x = 8 \cdot (-4) - 1$$ $$3x = -32 - 1$$ $$3x = -33 \implies x = -11$$

Ответ: $(-11; -4)$

Проверка решений

Обязательно подставляйте найденные пары чисел в исходные системы, чтобы исключить арифметические ошибки.

Частые ошибки

При решении задания №1088 ученики чаще всего допускают следующие промахи:

1. Потеря знака при раскрытии скобок.

   • Ошибка: В варианте (г) при подстановке $-(8y - 1)$ забывают поменять знак у единицы, получая $-8y - 1$.
   • Как верно: Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри: $-8y + 1$.

2. Ошибки с дробями.

   • Ошибка: В варианте (а) при умножении $2 \cdot (-\frac{4}{3}y)$ получают $-\frac{8}{3}$, но затем неверно складывают с $3y$.
   • Совет: Приводите дроби к общему знаменателю аккуратно. $3y = \frac{9}{3}y$.

3. Неверное выражение переменной.

   • Ошибка: Из $5x + 6y = -20$ пишут $x = -20 - 6y$, забывая разделить все слагаемые правой части на 5.
   • Как верно: $x = \frac{-20 - 6y}{5}$ или $x = -4 - 1.2y$.

4. Перепутанные координаты.

   • Записывают ответ как $(y; x)$ вместо $(x; y)$. Всегда проверяйте, какую переменную вы находили первой.

FAQ

Можно ли решить эти системы методом сложения? Да, все эти системы можно решить методом алгебраического сложения. Например, в варианте (б) можно умножить первое уравнение на $-2$, чтобы получить $-14x - 4y = 0$, и сложить со вторым уравнением $9x + 4y = 10$. Однако метод подстановки здесь часто быстрее, особенно если одна переменная легко выражается.

Что делать, если в ответе получились сложные дроби? Перепроверьте каждый шаг. В школьных задачах уровня №1088 ответы обычно являются целыми числами. Если у вас вышли громоздкие дроби, скорее всего, допущена арифметическая ошибка на этапе раскрытия скобок или переноса слагаемых.

Где пригодится этот навык? Умение решать системы линейных уравнений необходимо для решения текстовых задач на движение, работу и смеси, которые встречаются в ОГЭ по математике (9 класс) и в курсе алгебры 8–9 классов.